Coördinatentransformaties

Als we kijken naar Fig. 29, zien we dat om een punt $\mathcal{P}$ van de variëteit te labelen, we een systeem van $n$ coördinaten gebruiken, maar waarbij de keuze van de coördinaten arbitrair is. Het idee hierachter is dat niet de `labels', maar de punten zelf, en de topologische en geometrische relaties ertussen van belang zijn. We mogen punten herlabelen door coördinatentransformaties uit te voeren, $x^\alpha \rightarrow x^{\alpha^\prime}$, uitgedrukt door $n$ vergelijkingen

$$x^{\alpha^\prime} = x^{\alpha^\prime}(x^0, x^1, ...,x^{n-1})~~~~{\rm met~} \alpha=0,1,2,...,n-1,$$ (81)

waarbij we de nieuwe coördinaten geven als functie van de oude coördinaten. Merk op dat we het accent aan de index hangen om de nieuwe coördinaten aan te geven. We kunnen een coördinatentransformatie dus passief beschouwen als het toekennen van nieuwe (geaccentueerde) coördinaten $(x^{0^\prime},x^{1^\prime},...,x^{(n-1)^\prime})$ aan een punt van de variëteit, waarvan de oude coördinaten gegeven worden door $(x^0,x^1,...,x^{n-1})$.

We zullen aannemen dat de functies gegeven in vergelijking (87) eenwaardig, continu en differentieerbaar zijn over het valide bereik van hun argumenten. Door elke vergelijking in (87) te differentiëren naar de oude coördinaten $x^\beta$, krijgen we de $n \times n$ partiële afgeleiden $\partial x^{\alpha^\prime}/ \partial x^\beta$. Deze kunnen we samennemen in de $n \times n$ transformatiematrix $\Lambda_{~\beta}^{\alpha^\prime}$

$$\Lambda_{~\beta}^{\alpha^\prime} = {\partial x^{\alpha^\prime} ... ... {\partial x^{(n-1)^\prime} \over \partial x^{n-1}} \\ \end{array} \right) ,$$ (82)

zodat rijen worden gelabeld met een index in de teller van de partiële afgeleide en kolommen door een index in de noemer. De elementen van de transformatiematrix zijn functies van de coördinaten, en daarom zijn de numerieke waarden van de matrixelementen in het algemeen verschillend als ze worden uitgerekend op verschillende punten $\mathcal{P}$ van de variëteit. De determinant van de transformatiematrix wordt de jacobiaan van de transformatie genoemd en wordt aangeduid met

$$J = {\rm det} \left( {\partial x^{\alpha^\prime} \over \partial x^\beta} \right).$$ (83)

Het is duidelijk dat de numerieke waarde van $J$ van punt tot punt in de variëteit verandert.

Stel dat $J \neq 0$ voor een bepaald bereik van de coördinaten $x^\beta$, dan betekent dit dat we (in principe) vergelijkingen (87) kunnen oplossen naar de oude coördinaten $x^\beta$. We krijgen op deze wijze de inverse transformatievergelijkingen

$$x^\alpha = x^\alpha(x^{0^\prime}, x^{1^\prime}, ..., x^{(n-1)^\prime})~~~~{\rm met~} \alpha=0,1,...,n-1.$$ (84)

Op dezelfde manier als hierboven kunnen we de inverse transformatiematrix $\Lambda_{~\beta^\prime}^\alpha = \partial x^\alpha / \partial x^{\beta^\prime}$ en de Jacobiaan van de inverse transformatie $J^\prime = {\rm det}( \partial x^\alpha / \partial x^{\beta^\prime})$ bepalen.

Als we de kettingregel gebruiken, dan kunnen we eenvoudig laten zien dat de inverse transformatiematrix de inverse is van de transformatiematrix, omdat

$$\sum_{\beta=0}^{n-1} \Lambda_{~\beta}^{\alpha^\prime} \Lambda_{~\... ...\gamma , \\ 0 & ~~~~~~{\rm if~}\alpha \neq \gamma , \\ \end{array} \right\}$$ (85)

waar we de Kronecker delta $\delta_\gamma^\alpha$ gebruiken, alsmede het feit dat

$${\partial x^{\alpha^\prime} \over \partial x^{\gamma^\prime}} = {\partial x^\alpha \over \partial x^\gamma} = 0~~~~~{\rm als~}\alpha \neq \gamma ,$$ (86)

omdat de coördinaten in zowel het geaccentueerde als in het niet-geaccentueerde systeem onafhankelijk zijn. Omdat de twee transformatiematrices elkaars inverse zijn, volgt $J^\prime = 1/J$.

We beschouwen twee naburige punten $\mathcal{P}$ en $\mathcal{Q}$ in de variëteit, met respectievelijk coördinaten $x^\alpha$ en $x^\alpha + dx^\alpha$. In het nieuwe systeem wordt de infinitesimale coördinatenafstand tussen $\mathcal{P}$ en $\mathcal{Q}$ gegeven door de totale differentiaal

$$dx^{\alpha^\prime} = {\partial x^{\alpha^\prime} \over \partial x... ...1} dx^1 + ... + {\partial x^{\alpha^\prime} \over \partial x^{n-1}} dx^{n-1} ,$$ (87)

waar we bedoelen dat de partiële afgeleiden aan de rechterzijde van de vergelijking worden uitgerekend op punt $\mathcal{P}$. We kunnen dit economischer schrijven als

$$dx^{\alpha^\prime} = \sum_{\beta = 0}^{n-1} {\partial x^{\alpha^\... ...eta} dx^\beta = {\partial x^{\alpha^\prime} \over \partial x^\beta} dx^\beta ,$$ (88)

waar we in de laatste stap de sommatieconventie van Einstein hebben ingevoerd. Dit betekent dat als er in de uitdrukking dezelfde index boven als beneden voorkomt, we automatisch sommeren over alle waarden die die index kan aannemen.