Ruimtetijd van de ART

We zullen nu plausibel proberen te maken dat ruimtetijd een differentieerbare variëteit is. Daartoe wordt een geïdealiseerde waarnemer ingevoerd, dat is een waarnemer met verwaarloosbare afmetingen ten opzichte van de beschouwde schaal. Hierbij moet men denken aan een massapunt met daarop een glad lopende klok. Deze klok hoeft voorlopig helemaal niet eenparig (uniform) te lopen, als hij maar niet stilstaat. Bij iedere puntgebeurtenis op de plaats van deze waarnemer (dus op de plaats van het massapunt) hoort nu een eenduidig bepaald tijdstip, namelijk de tijd $t$ die de klok aanwijst als de puntgebeurtenis $\mathcal{P}=\mathcal{P}(t)$ plaatsvindt. Voor een zeker tijdinterval $I$ is er dus een bijectie

$$\gamma : t \in I \subset \mathbb{R} \longmapsto \gamma (t) = \mathcal{P}(t) \in \mathcal{S} .$$ (80)

Dit is een kromme in $\mathcal{S}$, de wereldlijn van de waarnemer. Er zijn talloze voorbeelden van wereldlijnen te geven. Eén zo'n voorbeeld is de wereldlijn van een punttrein, dat is een trein met verwaarloosbare afmetingen ten opzichte van de beschouwde schaal (zie Fig. 31). Hierin is $x$ de afstand van de punttrein tot het station $O$ en $t$ is de verlopen tijd sinds het vertrek uit $O$.

Figuur 31: Wereldlijn van een punttrein. De vertikale delen van de wereldlijn komen overeen met gebeurtenissen waarbij de trein stilstaat.

Lichtsignalen zijn van groot belang voor het beschrijven van de structuur van ruimtetijd. Bij lichtsignalen moet men denken aan golfpakketjes van radarsignalen, lichtpulsen of $\gamma$-quanta, waarvan de ruimtelijke afmetingen en de tijdsduur weer verwaarloosbaar zijn ten opzichte van de beschouwde schaal. Het is gebruikelijk doch niet geheel juist dergelijke golfpakketjes collectief met de term foton aan te duiden. Het belang van fotonen met betrekking tot de structuur van ruimtetijd is te wijten aan de empirisch vastgestelde universaliteit van de voorplanting van elektromagnetische golven in vacuüm, dat wil zeggen de voortplantingssnelheid in vacuüm is onafhankelijk van de bewegingstoestand van de bron en van de golflengte, de intensiteit en de polarisatie van de elektromagnetische golven.

Beschouw nu een radarstation $P$, dat een puntgebeurtenis $e$ waarneemt. Het radarstation is klein genoeg om dit met een wereldlijn in $\mathcal{S}$ te beschrijven. Bij de puntgebeurtenis $e$ kan men denken aan een vliegtuig waaraan op een zeker tijdstip en op een zekere plaats het radarsignaal wordt gereflecteerd. De tijd $t_V$ van vertrek van het radarsignaal en de tijd $t_O$ van ontvangst van het gereflecteerde radarsignaal worden door het radarstation $P$ geregistreerd. In de newtonse mechanica wordt een puntgebeurtenis vastgelegd door vier coördinaten, $(t,x,y,z) \in \mathbb{R}^4$. Daarom introduceren we een tweede radarstation $P^\prime$, dat een andere wereldlijn beschrijft en tijden $t_V^\prime$ en $t_O^\prime$ registreert voor dezelfde puntgebeurtenis $e$ met de klok op $P^\prime$. Men veronderstelt nu dat er een deelverzameling $U$ van $\mathcal{S}$ bestaat, zodanig dat voor iedere puntgebeurtenis uit $U$ de vier reële getallen $(t_V, t_O, t_V^\prime, t_O^\prime)$ een coördinatenstelsel vormen. De kaart $(U,\kappa )$ met $U \subset \mathcal{S}$ en $\kappa (e) = (t_V, t_O, t_V^\prime, t_O^\prime )$ heet een radarcoördinatenstelsel. Er is hier ondersteld dat een radarstation door slechts één uitgaande en één terugkomende radarpuls met $e$ verbonden is. Als het heelal gesloten is zou puntgebeurtenis $e$ door meer dan twee radarsignalen met een radarstation verbonden kunnen zijn. We beperken daarom in bovenstaande constructie alle wereldlijnen tot een deelverzameling $V$ van $\mathcal{S}$, zodat $e$ en $P$, respectievelijk $e$ en $P^\prime$ door slechts twee radarpulsen worden verbonden. Dit wordt schematisch weergegeven in Fig. 32.

Figuur 32: Twee waarnemers brengen een gebeurtenis in kaart door er radarpulsen aan te reflecteren. Radarcoördinaten van een puntgebeurtenis $e$ worden gevormd door tijden van vertrek en ontvangst van deze radarpulsen.

Door nu ruimtetijd $\mathcal{S}$ lapjesgewijs helemaal in kaart te brengen op bovenstaande wijze komt men tot de uitspraak: ruimtetijd is een vierdimensionale differentieerbare variëteit.

Er zijn naast genoemde manier nog andere manieren om ruimtetijd van coördinaten te voorzien. We noemen er twee.

1. Breng in ruimtetijd een voldoend dichte zwerm willekeurig bewegende deeltjes aan (massapunten), en voorzie ieder van deze deeltjes van een klok die weer niet noodzakelijkerwijs eenparig hoeft te lopen, als hij maar niet stilstaat. Kenmerk verder ieder deeltje door drie reële getallen $(x,y,z)$ om ze van elkaar te onderscheiden. Aan een puntgebeurtenis worden nu vier reële getallen toegevoegd, namelijk het drietal plaatscoördinaten $(x,y,z)$ van het massapunt $P$ waar de puntgebeurtenis $e$ plaatsvindt en het tijdstip $t$ dat de klok van $P$ aanwijst op het moment dat de puntgebeurtenis $e$ wordt waargenomen. We krijgen zo een kaart $e \longmapsto (t,x,y,z)$. Het coördinatenstelsel wordt zo geconstrueerd dat voor naburige puntgebeurtenissen bijbehorende $(t,x,y,z)$ weinig verschillen.
2. Neem vier waarnemers met ieder een lopende klok, die willekeurig bewegen. Laat deze waarnemers de aankomsttijden $t^\mu~~(\mu = 0,1,2,3)$ van een lichtsignaal registreren dat door een puntgebeurtenis $e$ is uitgezonden. Men krijgt voor de puntgebeurtenis $e$ dan vier coördinaten $(t^\mu )$.

De belangrijkste begrippen met betrekking tot de structuur van ruimtetijd zijn dus puntgebeurtenis, massapunt, foton en klok.