Wiskunde I - Differentiaaltopologie

In een ruimte zijn een punt, scalair een vector voorbeelden van topologische objecten. Als de scalair of vector kan variëren van punt tot punt, spreken we over een scalairveld, respectievelijk een vectorveld. In. Fig. 26 geven we een voorbeeld van een scalairveld en een vectorveld op de aarde.

Figuur 26: Links: voorbeeld van een scalairveld, het verschil tussen de temperatuurverdeling gemeten op aarde in 2008 ten opzichte van het gemiddelde van de jaren 1951 - 1980; rechts: windverdeling aan het oppervlak van de aarde als voorbeeld van een vectorveld.

Een tensor is een object dat de begrippen getal, vector, 1-vorm en matrix generaliseert. Tensoren kunnen gezien worden als zelfstandige geometrische grootheden, die los staan van eventuele referentiesystemen. Het is onze doelstelling om alle fundamentele wetten van de natuur uit te drukken in dergelijke topologische of geometrische objecten. Dat is de essentie van het relativiteitsprincipe: de fundamentele wetten van de natuurkunde zijn onafhankelijk van de keuze van het referentiesysteem. Door gebruik te maken van tensoren verkrijgen we een dergelijke referentiesysteem onafhankelijke beschrijving.

In de relativiteitstheorie beschouwen we tensorvelden in ruimtetijd. Allereerst bespreken we hoe ruimtetijd in kaart gebracht kan worden. We zullen aannemelijk maken dat ruimtetijd een differentieerbare variëteit is. Vervolgens bespreken we de verschillende topologische objecten die in ruimtetijd betekenis hebben: scalair veld, vector, 1-vorm, tensoren. We zullen zien dat het mogelijk is om het begrip inproduct te definiëren in ruimtetijd en voeren de zogenaamde metrische tensor in.