Scalairveld

We beschouwen enkel differentieerbare variëteiten en dat zijn ruimten die continu en differentieerbaar zijn. Dit betekent dat we op elk punt van de variëteit een scalairveld $\Phi$ kunnen definiëren en dat deze functie overal kan worden gedifferentieerd.

Figuur: Grafische voorstelling van een differentieerbare variëteit $\mathcal{S}$. Binnen een lokaal gebied kan een kaart met gladde (reële getallen) coördinaten $(x,y)$ de punten in de variëteit labelen. Om de hele variëteit te bestrijken dienen we verschillende kaarten samen te `lijmen'.

Stel we hebben een gladde functie $\Phi$ gedefinieerd op $\mathcal{S}$, denk bijvoorbeeld aan de temperatuur op het aardoppervlak. In moderne wiskundige taal is $\Phi$ dan een gladde afbeelding van $\mathcal{S}$ naar de ruimte van reële getallen $\mathbb{R}$, omdat $\Phi$ aan ieder punt van $\mathcal{S}$ een reëel getal toekent, dit wil zeggen $\Phi$ maakt een afbeelding van $\mathcal{S}$ naar de reële getallen. Een dergelijke functie wordt vaak een scalairveld op $\mathcal{S}$ genoemd. Binnen een bepaald lokaal gebied heeft $\Phi$ een coördinatenvergelijking $\Phi = f(x,y)$ op de bijbehorende kaart. De gladheid van het scalairveld $\Phi$ komt dan tot uitdrukking in de differentieerbaarheid van de functie $f(x,y)$. Het zal de lezer opgevallen zijn dat onderscheid wordt gemaakt tussen $\Phi$ en $f$. De reden is dat $\Phi$ gedefinieerd is op het oppervlak, maar uitgedrukt kan worden in verschillende coördinatensystemen. De wiskundige uitdrukking voor $f(x,y)$ kan verschillen voor verschillende kaarten, terwijl de grootheid $\Phi$ op elk specifiek punt van het oppervlak bestreken door deze kaarten niet verandert. Voor een andere kaart in Fig. 33 geldt bijvoorbeeld $\Phi = F(X,Y)$. Als de kaarten overlappen geldt $f(x,y) = F(X,Y)$. De specifieke uitdrukking voor $F$, in termen van $X$ en $Y$, zal in het algemeen verschillen van de uitdrukking voor $f$ in termen van $x$ en $y$. In het algemeen is $X$ een gecompliceerde functie van $x$ en $y$ in het overlap gebied, en dat geldt ook voor $Y$. Met deze functies dienen we rekening te houden als we van $f$ naar $F$ gaan. Dergelijke functies, die de coördinaten van één systeem beschrijven in termen van die van het andere systeem,

$$X=X(x,y)~~~~~{\rm en}~~~~~Y=Y(x,y),$$ (91)

en hun inverse

$$x=x(X,Y)~~~~~{\rm en}~~~~~y=y(X,Y),$$ (92)

noemen we overgangsfuncties.

Teneinde het bovenstaande concreet te maken, stelt U zich de volgende situatie voor. Een waarnemer die we voorzien van het label $\mathcal{O}$ besluit om de temperatuur van een bepaald gebiedje van het aardoppervlak in kaart te brengen. Hiertoe maakt hij een kaart van het gebied en gebruikt hij coördinaten $x$ en $y$. Een bepaald punt $\mathcal{P}$ van het aardoppervlak komt overeen met een bepaald punt $(x,y)$ op zijn kaart. Een tweede waarnemer (die we labelen met ${\mathcal{O}}^\prime$) komt op hetzelfde idee. Hij maakt ook een kaart, echter met volledig andere coördinaten $({x}^\prime, {y}^\prime)$. Na verloop van tijd besluiten beide waarnemers om hun analyse te vergelijken en leggen ze de kaarten naast elkaar. Het blijkt mogelijk om een wiskundige transformatie³³ te vinden tussen punten $(x,y)$ op de kaart van waarnemer $\mathcal{O}$ en $({x}^\prime, {y}^\prime)$ van ${\mathcal{O}}^\prime$. De transformatie correspondeert met de volgende set lineaire vergelijkingen,

Deze vergelijkingen definiëren een lineaire transformatie³⁴ (of lineaire afbeelding) van een punt $(x,y)$ naar een corresponderend beeld $({x}^\prime, {y}^\prime)$. In matrixvorm mogen we dit schrijven als ${\bf x}^\prime = {\bf Ax}$, en indien de afbeelding bijectief (een-op-een afbeelding) is, geldt ${\rm det}{\bf A} \neq 0$. Er is altijd sprake van een alias-alibi aspect bij dergelijke transformaties: als $({x}^\prime, {y}^\prime)$ wordt beschouwd als het definiëren van nieuwe coördinaten (een nieuwe naam) voor $(x,y)$, dan hebben we te maken met het alias aspect; als $({x}^\prime, {y}^\prime)$ beschouwd wordt als een nieuwe positie (plaats) voor $(x,y)$, dan komt het alibi aspect te voorschijn. In tensorrekening zijn we in het algemeen meer geïnteresseerd in het alias aspect. We noemen de twee coördinatenstelsels gerelateerd door ${\bf x}^\prime = {\bf Ax}$ respectievelijk het systeem ${\mathcal{O}}^\prime$ en $\mathcal{O}$. Stel dat het punt $\mathcal{P}$ van de variëteit in het systeem $\mathcal{O}$ gegeven wordt door de coördinaten $(x,y) = (0,-1)$. Met vergelijking (99) vinden voor het punt $(x,y) = (0,-1)$ het beeldpunt $({x}^\prime, {y}^\prime) = (2,-2)$ in systeem ${\mathcal{O}}^\prime$. Het origineel in $\mathcal{O}$ en het beeldpunt in ${\mathcal{O}}^\prime$ hebben verschillende coördinaten, maar stellen hetzelfde punt $\mathcal{P}$ in de variëteit voor.

Stel dat waarnemer $\mathcal{O}$ de temperatuur $T$ in zijn coördinatenstelsel kan beschrijven met uitdrukking $T:~ T(x,y) = 30+ 8x - y$ (dit is een scalairveld $T$ dat verschillende waarden kan aannemen op verschillende punten). Op punt $(x,y) = (0,-1)$ wordt de temperatuur dan gegeven door $T = 30 +8\times 0 -(-1) = 31^\circ$C. Om de corresponderende uitdrukking voor de andere waarnemer, die in coördinatenstelsel ${\mathcal{O}}^\prime$, te vinden, dienen we eerst de inverse transformatie gegeven door vergelijking (99) af te leiden. Hiertoe inverteren we de bijbehorende matrix en vinden

$$A = \left( \begin{array}{rl} 5 & -2 \\ 3 & +2 \\ \end{array... ...er 16} \left( \begin{array}{rl} 2 & 2 \\ -3 & 5 \\ \end{array} \right) .$$ (94)

Er geldt dan $x = {1 \over 16}\ (2{x}^\prime + 2{y}^\prime)$ en $y = {1\over 16}(-3{x}^\prime +5{y}^\prime )$ en we krijgen een andere uitdrukking voor de temperatuur. We vinden $T:~ T({x}^\prime ,{y}^\prime ) = 30 +{8\over 16}(2{x}^\prime + 2{y}^\prime ) ... ...prime +5{y}^\prime ) = 30 + {19\over 16} {x}^\prime + {11 \over 16}{y}^\prime$. Als we nu weer naar de temperatuur op hetzelfde punt (beeldpunt $({x}^\prime, {y}^\prime) = (2,-2)$) kijken, vinden we weer $T({x}^\prime ,{y}^\prime ) = T(2,-2) = 30 + {19\times 2 \over 16} +{11\times (-2) \over 16} = 30 + 2,375 - 1,375 = 31^\circ$C, zoals het hoort, want de temperatuur is een scalairveld dat zich niets aantrekt van het coördinatenstelsel dat we kiezen. Beide waarnemers zijn het eens: in de variëteit (het stukje aardoppervlak waar de kaarten overlappen in dit geval) is de temperatuur op punt $\mathcal{P}$ gelijk aan $31^\circ$C.