Vectorveld

Het begrip vector is ontstaan in de fysica en wel door begrippen als snelheid en versnelling. Deze objecten hebben een grootte en een richting en ze kunnen worden opgeteld en met een reëel getal vermenigvuldigd. Veel verwarring komt voort uit het feit dat de naam `vector' refereert naar twee verschillende concepten: enerzijds een zuiver numeriek object (een rij of kolom getallen) en anderzijds een object met geometrische of topologische eigenschappen. In deze laatste betekenis is de vector onafhankelijk van het referentiesysteem en heeft daarom geen unieke decompositie in numerieke elementen. We benadrukken het om een vector (of meer algemeen een tensor) te zien als een `geometrisch object', iets dat men zich kan voorstellen zonder te moeten refereren naar een specifiek referentiesysteem.

Figuur: Grafische voorstelling van een vectorveld als een `verdeling van pijltjes over de variëteit' getekend op $\mathcal{S}$. De vectoren zijn gebonden aan hun plaats.

Fig. 34 geeft een voorstelling van een vectorveld, bijvoorbeeld de horizontale windsnelheid op het oppervlak van de aarde.

Een topologische vector is een object $\vec V$ dat leeft in een bepaalde ruimte, in ons voorbeeld van het aardoppervlak is dat een niet-euclidische twee-dimensionale ruimte met constante positieve kromming³⁵. De vector heeft een bepaalde betekenis in die ruimte en stelt in ons voorbeeld de horizontale windsnelheid op het oppervlak van de aarde voor. We kunnen vectoren tekenen als pijltjes, zonder te refereren naar een bepaalde basis, en dat hebben we gedaan in Fig. 34.

Er is geen unieke manier om een topologische vector te expanderen in termen van componenten. Zonder verdere informatie is een statement als

$$\vec V = \left( \begin{array}{c} a \\ b \\ \end{array} \right) ,$$ (95)

zonder enige betekenis, omdat we niet weten welke basis we dienen te gebruiken. Wat we dienen te doen is iets te schrijven als

$$\vec V \xrightarrow[ \mathcal{O} ]{} \left( \begin{array}{c} a \\ b \\ \end{array} \right),$$ (96)

waarmee we met het pijltje $\xrightarrow[ O ]{}$ bedoelen dat de vector $\vec V$ componenten $a$ en $b$ heeft, die gegeven zijn in het referentiesysteem van waarnemer $\mathcal{O}$ (bijvoorbeeld het $(x,y)$ systeem). De vector $\vec V$ is een pijl met als componenten een verzameling van coördinatenstelsel afhankelijke getallen. We kunnen ook schrijven

$$\vec V = a \vec e_{x(\mathcal{O})} + b \vec e_{y(\mathcal{O})},$$ (97)

waarbij $\vec e_{x(\mathcal{O})}$ en $\vec e_{y(\mathcal{O})}$ de basisvectoren in het referentiesysteem van waarnemer $\mathcal{O}$ zijn. We hadden net zo goed een andere waarnemer kunnen kiezen, bijvoorbeeld ${\mathcal{O}}^\prime$, en dan geldt

$$\vec V \xrightarrow[ {\mathcal{O}}^\prime ]{} \left( \begin{array}{c} p \\ q \\ \end{array} \right) ,$$ (98)

waarbij

$$\vec V = p \vec e_{X({\mathcal{O}}^\prime )} + q \vec e_{Y({\mathcal{O}}^\prime )},$$ (99)

met $\vec e_{X({\mathcal{O}}^\prime )}$ en $\vec e_{Y({\mathcal{O}}^\prime )}$ de basisvectoren in het referentiesysteem van waarnemer ${\mathcal{O}}^\prime$ (bijvoorbeeld het $(X,Y)$ systeem). Merk op dat vergelijkingen (102) - (105) alle geldige beschrijvingen zijn van dezelfde topologische vector $\vec V$.

Het verleidelijk om te denken dat het symbool $\vec e_x$ de $x$-component van de $\vec e$-vector voorstelt. We bedoelen echter met $\vec e_x$ een volledige vector, waarbij het subscript $x$ onderdeel is van de naam van de vector en aangeeft welke van de basisvectoren we bedoelen (namelijk de basisvector in de $x$-richting). De vector $\vec e_x$ heeft zelf componenten, waarvan de $x$-component geschreven kan worden als $(\vec e_x)_x$. De volledige basis³⁶ geven we in dit geval aan met { $\vec e_x, \vec e_y$}.

Elke complete set vectoren kan gebruikt worden als basis. In Fig. 33 zijn de referentiesystemen van drie waarnemers weergegeven. Een topologische vector wordt voorgesteld door de pijl (zie Fig. 34) en hoort niet bij een of ander referentiesysteem. Het is een topologisch object met zelfstandig bestaansrecht. De waarnemers bekijken het echter vanuit hun eigen gezichtspunt (referentiesysteem). Cruciaal is te begrijpen dat de vector niet verandert als we van het ene naar het andere referentiesysteem gaan. Er geldt

$$\left( \begin{array}{c} a \\ b \\ \end{array} \right)_{\mat... ...t( \begin{array}{c} p \\ q \\ \end{array} \right)_{{\mathcal{O}}^\prime}.$$ (100)

Natuurlijk zijn de componenten $a$ en $b$ niet gelijk aan $p$ en $q$ en dienen we een voorschrift te vinden hoe we deze kunnen berekenen als we van basis veranderen. We gaan als volgt te werk: kies eerst een puntgebeurtenis $\mathcal{P}$. Op deze puntgebeurtenis kiezen we dan een complete set onafhankelijke vectoren (hierbij is elke redelijke keuze geoorloofd). We noemen deze vectoren $\vec e_i$ en gebruiken deze als basis om andere vectoren op punt $\mathcal{P}$ in te expanderen: $\vec u = \sum u^\alpha \vec e_\alpha$ en $\vec v = \sum v^\alpha \vec e_\alpha$.

Figuur 35: De basisvectoren die door een coördinatensysteem worden geïnduceerd, vormen een tangentenruimte op elke gebeurtenis van de variëteit.

Fig. 35 toont deze basis een tangentenruimte $T_P$ definieert op punt $\mathcal{P}$. Alle vectoren worden lokaal op dit punt worden beschreven³⁷. De richtingsafgeleiden $\partial_\alpha \equiv \partial_{\vec e_\alpha}$ langs deze basisvectoren spannen de tangentenruimte (de raakruimte in punt $\mathcal{P}$ op. In Fig. 35 hebben we als coördinaten $\chi (\mathcal{P})$ en $\psi (\mathcal{P})$ gebruikt. De basisvectoren worden gegeven door de richtingsafgeleiden langs de coördinaatlijnen en zijn $\partial / \partial \chi$ en $\partial / \partial \psi$. We kunnen een vector dus zien als een richtingsafgeleide. We zien dat deze vectoren niet in de variëteit liggen, maar een eigen vectorruimte opspannen. Alhoewel Fig. 35 een inzichtelijke voorstelling geeft, dienen we ons te realiseren, dat een abstracte variëteit beschouwd dient te worden als een zelfstandige entiteit: er is geen hogere-dimensionele ruimte waarin de variëteit en zijn tangentenruimten zijn ingebed. We geven een toelichting aan de hand van een voorbeeld dat de gang van zaken in de vertrouwde drie-dimensionale euclidische ruimte beschrijft.

Voorbeeld: coördinatensysteem in euclidische ruimte

We beschouwen de euclidische ruimte met cartesische coördinaten $(x,y,z)$ en de bijbehorende basis van eenheidsvectoren $\{ \vec i, \vec j, \vec k \}$. We gebruiken dit systeem als algemene referentie om andere, niet cartesische coördinaten in te beschrijven. We hebben een tweede coördinatensysteem $(u,v,w)$ dat niet cartesisch is, bijvoorbeeld de sferische coördinaten $(r, \theta , \phi )$. Er geldt

$$x = x (u,v,w),~~~~ y = y(u,v,w), ~~~~ z=z(u,v,w),$$ (101)

en we kunnen dit inverteren om $u,v,w$ te schrijven in termen van $x,y,z$. We kunnen bovenstaande vergelijking schrijven als

$$\vec r = x(u,v,w)\vec i + y(u,v,w)\vec j + z (u,v,w)\vec k,$$ (102)

Indien we $w$ gelijk zetten aan de constante $w_0$, terwijl $u,v$ mogen variëren, krijgen we

$$\vec r = x(u,v,w_0)\vec i + y(u,v,w_0)\vec j + z (u,v,w_0)\vec k.$$ (103)

hetgeen een parametrische vergelijking is voor het coördinatenoppervlak $w=w_0$, waarbij de coördinaten $u,v$ de rol van parameters spelen. We kunnen de parametrische vergelijkingen voor de twee andere oppervlakken op identieke wijze verkrijgen. Als we in bovenstaande vergelijking $v=v_0$ en $w=w_0$ stellen, maar $u$ laten variëren, krijgen we

$$\vec r = x(u,v_0,w_0)\vec i + y(u,v_0,w_0)\vec j + z (u,v_0,w_0)\vec k,$$ (104)

krijgen we een parametrische vergelijking voor de coördinatencurve gegeven door de snijlijn van vlakken $v=v_0$ en $w=w_0$, waarbij $u$ de rol van parameter langs de curve speelt. We kunnen de parametrische vergelijkingen voor de twee andere curven op identieke wijze verkrijgen.

Figuur 36: De coördinaatoppervlakken (bol, kegel en halfruimte) en coördinaatcurven voor sferische coördinaten.

Door elk punt $\mathcal{P}$ met coördinaten $(u_0,v_0,w_0)$ gaan drie coördinaatvlakken gegeven door $u=u_0$, $v=v_0$ en $w=w_0$. De vlakken snijden elkaar in coördinaatcurven. Voor sferische coördinaten hebben we

$$x=r\sin{\theta}\cos{\phi},~~~~y=r\sin{\theta}\sin{\phi},~~~~z=r\cos{\theta}.$$ (105)

waarbij de coördinaten het volgende bereik hebben: $r \geq 0$, $0 \leq \theta \leq \pi$ en $0 \leq \phi < 2\pi$. Fig. 36 toont dat het coördinaatvlak $r=r_0$ een bol is met straal $r_0$, het coördinaatvlak $\theta = \theta_0$ is een oneindige kegel met de apex in de oorsprong en de as verticaal, en het coördinaatvlak $\phi = \phi_0$ is een half-oneindig vlak met de $z$-as als rand.

De oppervlakken $\theta = \theta_0$ en $\phi = \phi_0$ snijden elkaar en dat resulteert in de coördinaatcurve die een deellijn is die vanaf $O$ vertrekt door $\mathcal{P}$ gaat; de oppervlakken $\phi = \phi_0$ en $r=r_0$ snijden elkaar in de curve die een halve cirkel is met eindpunten op de $z$-as en die door $\mathcal{P}$ gaat; en de oppervlakken $r=r_0$ en $\theta = \theta_0$ snijden elkaar in de horizontale cirkel door $\mathcal{P}$ met het middelpunt op de $z$-as.

Als we vergelijking (110) differentiëren naar de parameter $u$, krijgen we een tangentenvector aan de coördinaatcurve. Omdat we tijdens differentiëren $v$ en $w$ constant houden (want op deze wijze was de curve gedefinieerd), hebben we in feite de partiële afgeleide naar $u$ genomen van vergelijking (107). Als we op dezelfde manier vergelijking (107) partieel afleiden naar $v$ en $w$, krijgen we de tangentenvectoren van de andere twee coördinaatcurven. De drie partiële afgeleiden

$$\vec e_u \equiv {\partial \vec r \over \partial u},~~~~ \vec e_v... ...c r \over \partial v},~~~~ \vec e_w \equiv {\partial \vec r \over \partial w},$$ (106)

berekend op punt $(u_0,v_0,w_0)$ geven tangentenvectoren aan de drie coördinaatcurven die door $\mathcal{P}$ gaan. Op deze wijze verkrijgen we de natuurlijke basis $\{ \vec e_u,\vec e_v,\vec e_w \}$ op punt $\mathcal{P}$. In het algemeen is deze basis niet orthogonaal en zijn de vectoren geen eenheidsvectoren.

Gegeven een vectorveld $\vec \lambda$, kunnen we in elk punt $\mathcal{P}$ de vector $\vec \lambda$ refereren aan basis $\{ \vec e_u,\vec e_v,\vec e_w \}$,

$$\vec \lambda = \lambda^u \vec e_u + \lambda^v \vec e_v + \lambda^w \vec e_w .$$ (107)

We gebruiken $u^i$ $(i=1,2,3)$ in plaats van $(u,v,w)$ voor de coördinaten, en $\{ \vec e_i \}$ $(i=1,2,3)$ in plaats van $\{ \vec e_u,\vec e_v,\vec e_w \}$ voor de natuurlijke basis. Voor een vector $\vec \lambda$ duiden we de componenten in de basis $\{ \vec e_i \}$ aan met $\lambda^i$ $(i=1,2,3)$. We kunnen vergelijking (113) nu uitdrukken als

$$\vec \lambda = \lambda^1 \vec e_1 + \lambda^2 \vec e_2 + \lambda^3 \vec e_3 = \sum_{i=1}^{3} \lambda^i \vec e_i .$$ (108)

We spreken nu af dat een index uit het midden van het alfabet ( $i,j,k, ...$) altijd loopt over de waarden 1,2 en 3. Verder sommeren we automatisch als dezelfde index voorkomt als superscript en subscript (dit heet de sommatieconventie van Einstein). We kunnen vergelijking (114) nu schrijven als $\vec \lambda = \lambda^i \vec e_i$. Merk op dat de twee indices die op deze wijze gebruikt worden dummie indices genoemd worden en vervangen mogen worden door andere letters (die nog niet in gebruik zijn).

                                                                   

In het volgende bestuderen we viervectoren in ruimtetijd. Een typische vector is de verplaatsingsvector $\Delta \vec x \xrightarrow[ \mathcal{O} ]{} (\Delta t, \Delta x, \Delta y, \Delta z)$. Een andere notatie is $\Delta \vec x \xrightarrow[ \mathcal{O} ]{} \left\{ \Delta x^\alpha \right\}$. Als we willen weten wat de componenten van deze vector zijn in een ander coördinatenstelsel, bijvoorbeeld het systeem ${\mathcal{O}}^\prime$, dan schrijven we $\Delta \vec x \xrightarrow[ {\mathcal{O}}^\prime ]{} \left\{ \Delta x^{\alpha^\prime} \right\}$. We gebruiken het accent boven de index om de nieuwe coördinaten aan te geven. De vector $\Delta \vec x$ is hetzelfde en daarvoor hebben we geen nieuwe notatie nodig als we van referentiesysteem veranderen. We kunnen de nieuwe componenten $\Delta x^{\alpha^\prime}$ vinden met behulp van de transformatiematrix van het ene naar het andere systeem (zie vergelijking (88)) en we schrijven

$$\Delta x^{\alpha^\prime} = \sum_{\beta = 0}^3 \Lambda_{~\beta}^{\alpha^\prime} \Delta x^\beta = \Lambda_{~\beta}^{\alpha^\prime} \Delta x^\beta$$ (109)

voor willekeurige $\alpha^\prime$. De verzameling $\Lambda_{~\beta}^{\alpha^\prime}$ bestaat uit 16 getallen die de transformatiematrix vertegenwoordigen. De notatie maakt weer gebruik van Einstein's sommatieconventie en vergelijking (115) stelt eigenlijk vier verschillende vergelijkingen voor ( ${\alpha}^\prime = 0,1,2,3$).

Een algemene vector (wij zijn geïnteresseerd in viervectoren) is gedefinieerd als een verzameling getallen (de componenten van de vector ten opzichte van een bepaalde basis, $\mathcal{O}$) als $\vec V \xrightarrow[ \mathcal{O} ]{} (V^0, V^1, V^2, V^3) = \left\{ V^\alpha \right\}$ en door de regel dat zijn componenten in een systeem ${\mathcal{O}}^\prime$ gegeven worden door

$$V^{\alpha^\prime} = \Lambda_{~\beta}^{\alpha^\prime} V^\beta.$$ (110)

Dus de componenten van een vector (vergelijking (116)) transformeren op dezelfde manier als de coördinaten (vergelijking (115)).

De componenten $V^\alpha$ van een vector $\vec V$ ten opzichte van de natuurlijke basis $\{ \vec e_\alpha \}$ worden de contravariante componenten genoemd. Een object waarvan de componenten contravariant transformeren, een vector, noemen we een $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right)$ tensor. Stel dat we twee systemen met curvelineaire coördinaten hebben in ruimtetijd, aangegeven met $\mathcal{O}$ en ${\mathcal{O}}^\prime$. We vragen ons af hoe de contravariante componenten van een vector veranderen als we van het ene naar het andere systeem gaan. We noemen $\{ \vec e_\alpha \}$ de basis in het systeem van waarnemer $\mathcal{O}$ en $\{ \vec e_{\alpha^\prime} \}$ de basis in het systeem van waarnemer ${\mathcal{O}}^\prime$. Er geldt

$$\vec V = V^\alpha \vec e_\alpha = V^{\alpha^\prime} \vec e_{\alpha^\prime} .$$ (111)

We kunnen bovenstaande relatie gebruiken om de transformatiewet voor de basisvectoren te vinden, dit wil zeggen de relatie tussen $\left\{ \vec e_\alpha \right\}$ en $\left\{ \vec e_{\alpha^\prime} \right\}$. Met vergelijking (116) kunnen we vergelijking (117) schrijven als

$$\Lambda_{~\beta}^{\alpha^\prime} V^\beta \vec e_{\alpha^\prime} ... ... (\Lambda_{~\alpha}^{\beta^\prime} \vec e_{\beta^\prime} -\vec e_\alpha ) = 0.$$ (112)

In de eerste stap maken we gebruik van het feit dat $\Lambda_{~\alpha}^{\beta^\prime}$ en $V^\beta$ gewoon getallen zijn, en dat hun volgorde in een eindige som niet uitmaakt. In de tweede stap gebruiken we het feit dat $\beta$ en ${\alpha}^\prime$ dummie indices zijn: we veranderen $\beta$ in $\alpha$ en ${\alpha}^\prime$ in ${\beta}^\prime$. De laatste vergelijking moet waar zijn voor elke verzameling $\left\{ V^\alpha \right\}$ omdat $\vec V$ een willekeurige vector is. We vinden

$$\vec e_\alpha = \Lambda_{~\alpha}^{\beta^\prime} \vec e_{\beta^\prime}$$ (113)

en dit is de transformatiewet voor basisvectoren. Het is geen transformatie van componenten, maar geeft de basis $\left\{ \vec e_\alpha \right\}$ van $\mathcal{O}$ als een lineaire som van de basis $\left\{ \vec e_{\alpha^\prime} \right\}$ van ${\mathcal{O}}^\prime$. Als we dit vergelijken met relatie (116) dan zien we dat het transformatiegedrag verschilt. Omdat de componenten met de inverse transformatiematrix van die van de basisvectoren transformeert, noemen we de componenten van een vector contravariant.

We kunnen de inverse transformaties vinden door ons te realiseren dat de systemen $\mathcal{O}$ en ${\mathcal{O}}^\prime$ op gelijke voet staan. We kunnen derhalve de indices met en zonder accenten verwisselen en vinden voor de inverse transformatie van basis en componenten

$$\vec e_{\beta^\prime} = \Lambda_{~\beta^\prime}^\alpha \vec e_\alpha ,~~~~{\rm en}~~~~ V^\alpha = \Lambda_{~\beta^\prime}^\alpha V^{\beta^\prime}.$$ (114)

Dit volgt ook uit het feit dat eerst heen en vervolgens terug transformeren niets mag veranderen. Dit leidt tot de identiteit

$$\Lambda_{~\beta^\prime}^\nu \Lambda_{~\alpha}^{\beta^\prime} = \delta_{~\alpha}^\nu .$$ (115)

Merk op dat we bovenstaand verband al hadden gevonden in vergelijking (91).

We eindigen de discussie over vectoren met een voorbeeld in $\mathbb{R}^2$. Stel dat $V^i$ met $i=1,2$ de contravariante componenten zijn van een vector, en dat $V^i = (x^2,x^1)$ in het coördinatenstelsel ${\bf x} = \{ x_i \}$. We willen nu de componenten van deze vector, $V^{i^\prime}$, berekenen in het systeem ${\bf x}^\prime = \{ x^{i^\prime} \}$ met transformatie

Volgens de definitie van covariantie, vergelijking (116), geldt

$$V^{i^\prime} = V^r \Lambda_{~r}^{i^\prime} = V^1{\partial x^{i^\prime} \over \partial x^1} + V^2{\partial x^{i^\prime} \over \partial x^2},$$ (117)

waarbij we vergelijking (88) gebruikt hebben om $\Lambda_{~r}^{i^\prime}$ uit te werken. We zien dat we de transformatiematrix nodig hebben voor geval $i=1$ en $i=2$. We vinden

$$\left( \begin{array}{cc} {\partial x^{1^\prime} \over \partial ... ...= \left( \begin{array}{cc} 0 & 2x^2 \\ x^2 & x^1 \\ \end{array} \right) .$$ (118)

Dit geeft

$$V^{1^\prime} = V^1(0) + V^2(2x^2) = 2x^1x^2~~~~~ V^{2^\prime} = V^1(x^2)V^2(x^1) = (x^2)^2 + (x^1)^2$$ (119)

en in termen van de geaccentueerde coördinaten wordt dit

$$V^{1^\prime} = 2x^{2^\prime} ~~~~~ V^{2^\prime} = x^{1^\prime} +{(x^{2^\prime})^2 \over x^{1^\prime}}.$$ (120)