Lineaire functionaal, 1-vorm of covectorveld

Een tensor van het type $\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \end{array} \right)$ wordt een covector, een covariante vector, een lineaire functionaal³⁸ of een 1-vorm genoemd. De lineaire functionaal³⁹ $\tilde{p}$ heeft een vector als argument en beeldt af op de reële getallen: $\tilde{p}(\vec V)$ is een reëel getal⁴⁰. De functionalen voldoen aan de axioma's voor een vectorruimte. Deze ruimte wordt de duale vectorruimte genoemd om het onderscheiden van de ruimte van alle vectoren $\vec V$. De componenten van $\tilde{p}$ worden $p_\alpha$ genoemd en er geldt

$$p_\alpha \equiv \tilde{p} (\vec e_\alpha ) .$$ (121)

Elke component met één enkel subscript is per conventie de component van een 1-vorm; een superscript geeft een component van een vector aan. In termen van componenten wordt $\tilde{p}(\vec V)$ gegeven door

$$\tilde{p} (\vec V ) = \tilde {p} (V^\alpha \vec e_\alpha ) = V^\alpha \tilde{p} (\vec e_\alpha ) = V^\alpha p_\alpha .$$ (122)

Merk op dat we in bovenstaande afleiding gebruik maken van de lineairiteit van de functionaal. Voor ruimtetijd ($n=4$) is het getal $\tilde{p}(\vec V)$ gelijk aan $V^0p_0+V^1p_1+V^2p_2+V^3p_3$ en de bewerking wordt contractie van $\vec V$ en $\tilde{p}$ genoemd.

De componenten van $\tilde{p}$ op een andere basis $\{ \vec e_{\alpha^\prime} \}$ zijn

$$p_{\alpha^\prime} \equiv \tilde{p} (\vec e_{\alpha^\prime}) = \t... ...e}^\beta \tilde{p} ( \vec e_\beta ) = \Lambda_{~\alpha^\prime}^\beta p_\beta .$$ (123)

Als we dit vergelijken met uitdrukking (120) dan zien we dat de componenten van 1-vormen op precies dezelfde wijze transformeren als basisvectoren en tegengesteld aan de componenten van vectoren. Met tegengesteld bedoelen we met de inverse transformatie (zie weer vergelijking (120)). Dit gebruik van de inverse garadeert dat $V^\alpha p_\alpha$ systeem onafhankelijk is voor ieder vector $\vec V$ en 1-vorm $\tilde{p}$. De inverse transformatie geeft aanleiding tot het woord duaal in duale vectorruimte. De eigenschap van transformeren met basisvectoren geeft aanleiding tot de co in covariante vector. Omdat componenten van gewone vectoren tegengesteld transformeren aan de basisvectoren, worden ze contravariant genoemd.

Omdat de 1-vormen een vectorruimte opbouwen, kunnen we een verzameling van onafhankelijke 1-vormen als basis kiezen. We hebben de basis $\{ \vec e_\alpha \}$ reeds gebruikt om de componenten van de 1-vorm te definiëren. We kunnen nu de geassocieerde 1-vorm basis $\tilde{\omega}^\alpha , \alpha = 0,...,3$ definiëren die we duaal aan $\{ \vec e_\alpha \}$ noemen. Dat wil zeggen dat we de verzameling $\{ \tilde{\omega} \}$ zó kiezen, dat

$$\tilde{p} = p_\alpha \tilde{\omega}^\alpha .$$ (124)

We vinden op deze manier specieke 1-vormen als basis. Merk op dat we de notatie weer zodanig kiezen, dat we gebruik kunnen maken van de sommatieconventie. Als we vergelijking (130) gebruiken, vinden we

$$\tilde{p}(\vec V) = p_\alpha \tilde{\omega}^\alpha (\vec V) = p_... ...^\beta \vec e_\beta) = p_\alpha V^\beta \tilde{\omega}^\alpha (\vec e_\beta) .$$ (125)

Het bovenstaande dient gelijk te zijn aan $p_\alpha V^\alpha$ en daaruit volgt

$$\tilde{\omega}^\alpha (\vec e_\beta) = \delta_{~\beta}^\alpha .$$ (126)

Bovenstaande relatie definieert de 1-vorm basis: de vector basis induceert een unieke en bruikbare 1-vorm basis⁴¹. We illustreren dit aan de hand van een voorbeeld uit de 3D euclidische ruimte.

Voorbeeld: duale basis in euclidische ruimte

We beschouwen de euclidische ruimte met cartesische coördinaten $(x,y,z)$ en de bijbehorende basis van eenheidsvectoren $\{ \vec i, \vec j, \vec k \}$. We gebruiken dit systeem weer als algemene referentie om een ander, niet cartesisch systeem, $(u,v,w)$, te beschrijven. We kunnen de gradiënt van een scalaire functie beschouwen als een 1-vorm. Teneinde dat duidelijk te maken gaan we weer even terug naar onze beschrijving in de drie-dimensionale euclidische ruimte. Vergelijking (112) geeft de natuurlijke basis $\{ \vec e_u,\vec e_v,\vec e_w \}$ op punt $\mathcal{P}$, waarbij we de coördinaten $(u,v,w)$ gebruiken om punten te labelen. Er is een andere manier om het coördinatensysteem $(u,v,w)$ te gebruiken om een basis te construeren op punt $\mathcal{P}$. Allereerst inverteren we vergelijkingen (107) om $u$, $v$ en $w$ te krijgen in termen van $x$, $y$ en $z$,

$$u=u(x,y,z),~~~~~v=v(x,y,z),~~~~~w=w(x,y,z).$$ (127)

Dit stelt ons in staat om elke coördinaat als een scalair veld te beschouwen en de bijbehorende gradiënten te berekenen.

$$\begin{array}{rcl} \nabla u & = & {\partial u \over \partial... ...\vec j + {\partial w \over \partial z} \vec k. \\ \end{array}$$ (128)

Op elk punt $\mathcal{P}$ staan deze gradiëntvectoren loodrecht op de corresponderende coördinaatoppervlakken door $\mathcal{P}$, die overeenkomen met de oppervlakken $u=u_0$, $v=v_0$ en $w=w_0$. We hebben daarom met $\{ \nabla u, \nabla v, \nabla w \}$ een alternatieve basis op $\mathcal{P}$. Deze basis is de duale van de basis van tangentenvectoren. Teneinde deze basis te onderscheiden van de natuurlijke basis, gebruiken we de indices als superscipten⁴².

$$\vec e^u \equiv \nabla u, ~~~~\vec e^v \equiv \nabla v,~~~~\vec e^w \equiv \nabla w .$$ (129)

Laten we nu een concreet voorbeeld beschouwen. Er geldt

$$x=u+v,~~~~~y=u-v,~~~~~z=2uv+w,$$ (130)

waarbij $-\infty < u < \infty , -\infty < v < \infty , -\infty < w < \infty$. Inverteren van deze vergelijkingen geeft

$$u={1\over2}(x+y),~~~~~v={1\over 2}(x-y),~~~~~w=z-{1\over 2}(x^2-y^2),$$ (131)

waaraan we kunnen zien dat de coördinaatvlakken $u=u_0$ een familie vlakken vormen, net zoals $v=v_0$, terwijl de coördinaatvlakken $w=w_0$ een familie hyperbolische paraboloïden vormen.

De positievector $\vec r$ wordt gegeven door

$$\vec r = (u+v) \vec i + (u-v)\vec j + (2uv + w) \vec k,$$ (132)

waarmee we voor de vectoren van de natuurlijke basis

vinden. Enkel de laatste vector is een eenheidsvector. Geen van de inproducten $\vec e_u \cdot \vec e_v = 4uv$, $\vec e_v \cdot \vec e_w = 2u$ en $\vec e_w \cdot \vec e_u =2v$ is in het algemeen gelijk aan nul. Het systeem is dus niet orthogonaal.

We vinden voor de vectoren van de duale basis

We zien dat in het algemeen $\vec e^u$ niet parallel is met $\vec e_u$, $\vec e^v$ niet met $\vec e_v$, en $\vec e^w$ niet met $\vec e_w$.

Gegeven een vectorveld $\vec \lambda$ kunnen we op elk punt $\mathcal{P}$ de vector $\vec \lambda$ beschrijven ten opzichte van de natuurlijke basis $\{ \vec e_u,\vec e_v,\vec e_w \}$ of de duale basis $\{ \vec e^u, \vec e^v, \vec e^w \}$. We schrijven

$$\vec \lambda = \lambda^i \vec e_i = \lambda_i \vec e^i .$$ (135)

                                                                   

Figuur: Links: de waarde $\tilde{p}(\vec V)$ is gelijk aan 2,5. Rechts: een topologische kaart demonstreert de gradiënt 1-vorm (lokale contouren van constante hoogte). De verandering van hoogte voor een reis (pijl) is het aantal contouren dat door de pijl doorboort wordt. Deze is het grootst voor reis (2).

Bij vectoren denken we meestal aan een pijl als we een beeld nodig hebben. Het kan handig zijn om ook een voorstelling van een 1-vorm te hebben. Dit beeld moet het feit uitdrukken dat een 1-vorm een afbeelding is van een vector naar een reëel getal. In de drie-dimensionale ruimte kan men zich een 1-vorm $\tilde{p}$ op punt $\mathcal{P}$ voorstellen als een aantal parallelle vlakken. De contractie met een vector $\vec V$ is dan het aantal vlakken dat door de vector `doorboort' wordt. Hoe dichter de oppervlakken bij elkaar staan, hoe groter $\tilde{p}(\vec V)$.

Het dualisme is overigens compleet, omdat we vectoren ook kunnen beschouwen als functies die 1-vormen afbeelden op de reële getallen. Gegeven vector $\vec V$ krijgen we een reëel getal als we de vector voorzien van een 1-vorm,

$$\vec V (\tilde{p}) \equiv \tilde{p}(\vec V) \equiv p_\alpha V^\alpha.$$ (136)

Vectoren hebben dus geen speciale positie als objecten die als input dienen voor tensoren. We kunnen een vector ook als tensor zien: een lineaire functie van een 1-vorm naar een reëel getal. Vectoren en 1-vormen hebben hiermee een gelijke en symmetrische status.

Voordat we de beschrijving van 1-vormen afsluiten zullen we nog een speciale 1-vorm bespreken, de gradiënt. Beschouw een scalairveld $\phi (\vec x)$. De wereldlijn van een waarnemer meet een waarde voor $\phi$ voor elke gebeurtenis die hij meemaakt en deze waarde verandert voortdurend. We parametriseren de wereldlijn met de eigentijd $\tau$ van de waarnemer en dit staat ons toe om de coördinaten van gebeurtenissen op de wereldlijn uit te drukken als functies van $\tau$. Er geldt $[ t=t(\tau ), x=x( \tau ), y=y( \tau ), z=z(\tau )]$. De viersnelheid heeft componenten $\vec U \rightarrow \left( {dt \over d\tau}, {dx \over d\tau}, {dy \over d\tau},{dz \over d\tau} \right)$ en omdat $\phi$ een functie is van $t$, $x$, $y$ en $z$, is $\phi$ op de wereldlijn impliciet een functie van $\tau$, $\phi(\tau ) = \phi[t(\tau ), x( \tau ), y( \tau ), z(\tau )]$. De mate van verandering van $\phi$ op de wereldlijn, dat is de afgeleide, bedraagt

$${d\phi \over d\tau} = {\partial \phi \over \partial t}{dt \over d... ...tial y}U^y + {\partial \phi \over \partial z}U^z =\tilde{\rm d}\phi (\vec U).$$ (137)

Het is duidelijk dat we in bovenstaande vergelijking erin geslaagd zijn om met de vector $\vec U$ het getal $d\phi /d\tau$ te produceren, dat de mate van verandering van $\phi$ is langs de wereldlijn waaraan $\vec U$ een tangent vector is. Dit getal $d\phi /d\tau$ is duidelijk een lineaire functie van $\vec U$ en hiermee hebben we dus een 1-vorm gedefinieerd. Vergelijken met uitdrukking (128) toont dat deze 1-vorm de componenten ${\partial \phi \over \partial t},{\partial \phi \over \partial x}, {\partial \phi \over \partial y},{\partial \phi \over \partial z}$ heeft. Deze 1-vorm wordt de gradiënt van $\phi$ genoemd en aangeduid met $\tilde{\rm d}\phi$. Er geldt

$$\tilde {\rm d}\phi \xrightarrow[{\mathcal{O}}]{} \left( {\partia... ...phi~~{\rm met~} \nabla_\alpha \phi = {\partial \phi \over \partial x^\alpha} .$$ (138)

Merk op dat ondanks de notatie, $\tilde{\rm d}\phi$ niet klein hoeft te zijn. We dus verder dat de gradiënt een 1-vorm is, terwijl we in de vectoranalyse geleerd hebben dat het een vectorgrootheid is. De reden hiervoor is dat er een metriek nodig is om 1-vormen aan vectoren te relateren. Op dit moment hebben we deze extra mathematische structuur nog niet aan onze variëteit opgelegd.

We kunnen vergelijking (144) nog controleren op haar consistentie door te bestuderen hoe de componenten transformeren. Voor een 1-vorm moet gelden $(\tilde {\rm d} \phi )_{\alpha^\prime} = \Lambda_{~\alpha^\prime}^\beta (\tilde {\rm d}\phi )_\beta$. We weten hoe partiële afgeleiden transformeren, namelijk

$${\partial \phi \over \partial x^{\alpha^\prime}} = {\partial \phi \over \partial x^{\beta}} {\partial x^\beta \over \partial x^{\alpha^\prime}},$$ (139)

hetgeen betekent dat $(\tilde {\rm d} \phi )_{\alpha^\prime} = \Lambda_{~\alpha^\prime}^\beta (\tilde {\rm d}\phi )_\beta$, want gegeven dat $x^\beta = \Lambda_{~\alpha^\prime}^\beta x^{\alpha^\prime}$ geldt

$${\partial \phi \over \partial x^{\beta}} {\partial x^\beta \over... ...e}} = \Lambda_{~\alpha^\prime}^\beta {\partial \phi \over \partial x^{\beta}}.$$ (140)

De componenten van de gradiënt transformeren met de inverse van de componenten van vectoren. De gradiënt is dus een 1-vorm.

Van nu af aan zullen we partiële afgeleiden aanduiden met de komma-notatie. Er geldt de definitie

$${\partial \phi \over \partial x} \equiv \phi_{,x}~~~~{\rm of~algemeen}~~~~ {\partial \phi \over \partial x^\alpha} \equiv \phi_{,\alpha}.$$ (141)

Merk op dat de index $\alpha$ aan de linkerkant als een boven-index optreedt en aan de rechterkant als een beneden-index.