Algemene tensorvelden

De $\left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ \end{array} \right)$ tensoren zijn tensoren die twee vectorargumenten hebben. Een voorbeeld is de metrische tensor, maar een eenvoudiger voorbeeld is het product van twee 1-vormen. We gebruiken hierbij de volgende regel: als $\tilde{p}$ en $\tilde{q}$ beide 1-vormen zijn, dan is $\tilde{p}\otimes \tilde{q}$ de $\left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ \end{array} \right)$ tensor die, als hij de vectoren $\vec A$ en $\vec B$ als argumenten krijgt, het getal $\tilde{p}(\vec A ) \otimes \tilde{q}(\vec B)$ produceert. Het is dus het product van de getallen geproduceert door de $\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \end{array} \right)$ tensoren. Het symbool $\otimes$ wordt het tensorproduct genoemd en geeft de formele notatie hoe we een $\left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ \end{array} \right)$ tensor moeten samenstellen uit 1-vormen. Overigens is $\otimes$ niet commutatief: $\tilde{p} \otimes \tilde{q} \neq \tilde{q} \otimes \tilde{p}$ zijn verschillende tensoren. De eerste geeft de waarde $\tilde{p}(\vec A ) \tilde{q}(\vec B)$ en de tweede $\tilde{q}(\vec A ) \cdot \tilde{p}(\vec B)$.

De meest algemene $\left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ \end{array} \right)$ tensor geen eenvoudig tensorproduct van twee 1-vormen, maar kan wel altijd voorgesteld worden als een som van dergelijke tensoren. Hiertoe beschouwen we de componenten van een willekeurige $\left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ \end{array} \right)$ tensor $\bf f$. Er geldt $f_{\alpha \beta} \equiv {\bf f}(\vec e_\alpha , \vec e_\beta )$, waarbij elke index vier waarden kan aannemen voor ruimtetijd. In totaal heeft ${\bf f}$ dus 16 componenten. De waarde van ${\bf f}$ voor willekeurige vectoren is

$${\bf f}(\vec A , \vec B) = {\bf f}(A^\alpha \vec e_\alpha , B^\be... ...{\bf f}( \vec e_\alpha , \vec e_\beta ) = A^\alpha B^\beta f_{\alpha \beta} .$$ (142)

De vraag is of we een basis kunnen vormen voor deze tensoren⁴³. Kunnen we een verzameling bestaande uit 16 verschillende $\left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ \end{array} \right)$ tensoren $\tilde{\omega}^{\alpha \beta}$ definiëren, zodat geldt ${\bf f} = f_{\alpha \beta} \tilde{\omega}^{\alpha \beta}$? Als dat zo is, dan dient te gelden

$$f_{\mu \nu} = {\bf f} (\vec e_\mu , \vec e_\nu ) = f_{\alpha \beta} ~ \tilde{\omega}^{\alpha \beta} (\vec e_\mu , \vec e_\nu )$$ (143)

en dat betekent, dat moet gelden

$$\tilde{\omega}^{\alpha \beta} (\vec e_\mu , \vec e_\nu ) = \delta_{~\mu}^\alpha \delta_{~\nu}^\beta .$$ (144)

Volgens vergelijking (132) is $\delta_{~\mu}^\alpha$ de waarde van $\tilde{\omega}^\alpha$ voor $\vec e_\mu$ en hetzelfde verhaal voor $\delta_{~\nu}^\beta$. Daarom is $\tilde{\omega}^{\alpha \beta}$ een tensor, waarvan de waarde het product is van de waarden van de twee basis 1-vormen. We concluderen derhalve

$$\tilde{\omega}^{\alpha \beta} = \tilde{\omega}^\alpha \otimes \tilde{\omega}^\beta .$$ (145)

De tensoren $\tilde{\omega}^\alpha \otimes \tilde{\omega}^\beta$ vormen een basis voor alle $\left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ \end{array} \right)$ tensoren, en we mogen schrijven

$${\bf f} = f_{\alpha \beta} ~ \tilde{\omega}^\alpha \otimes \tilde{\omega}^\beta .$$ (146)

Op deze wijze is een algemene $\left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ \end{array} \right)$ tensor een som over eenvoudige tensorproduct tensoren.

Een tensor van het type $\left( \begin{array}{c} M \\ N \\ \end{array} \right)$ is een afbeelding (functie) van $M$ 1-vormen en $N$ vectoren naar reële getallen, die lineair is in elk van zijn $M+N$ argumenten⁴⁴. Merk op dat deze definitie van een tensor niet spreekt over de componenten van de 1-vormen en vectoren. De tensor dient hetzelfde reële getal als uitkomst te geven, onafhankelijk van het gebruikte coördinatensysteem.

Net als een 1-vorm en vector heeft ook een tensor componenten. De definitie is als volgt: de componenten in een referentiesysteem $\mathcal{O}$ van een tensor van het type $\left( \begin{array}{c} M \\ N \\ \end{array} \right)$ zijn de waarden van de functie als men voor de argumenten de basis 1-vormen $\{ \vec e^\alpha \}$ en basisvectoren $\{ \vec e_\alpha \}$ van het systeem $\mathcal{O}$ gebruikt. De componenten van een tensor zijn dus afhankelijk van het referentiesysteem van de waarnemer, omdat de basis immers per systeem verschilt. De tensor zelf kan gezien worden als een topologisch object dat zelfstandig bestaat in ruimtetijd en onafhankelijk gezien kan worden van coördinatenstelsels.