Metrische tensor

Tot nu toe hebben we enkel variëteiten beschouwd die een relatief eenvoudige vorm hebben. De variëteit is continu en differentieerbaar, waardoor we 1-vormen, vectoren en andere tensoren kunnen definiëren. Verder betreft het een amorfe verzameling punten (of puntgebeurtenissen). Er is nog geen meetkunde gedefinieerd. Zo kunnen we twee vectoren (of 1-vormen) niet afbeelden op een reëel getal. Er is dan ook nog geen concept van inproduct.

Als volgende stap kiezen we nu een $\left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ \end{array} \right)$ tensor die dienst gaat doen als de metriek van de variëteit. Een dergelijke variëteit noemen we een riemannse variëteit. De metrische tensor maakt het mogelijk om de (kwadratische) lengte van een vector te berekenen, of het scalaire product (inproduct) van twee vectoren te bepalen. Ook levert de metriek een één op één correspondentie tussen vectoren en 1-vormen. We definiëren

$$g( \vec A, \vec B) \equiv \vec A \cdot \vec B,$$ (147)

en hieruit volgt direct dat de metrische tensor symmetrisch is, $g( \vec A, \vec B) = g( \vec B, \vec A)$. We beschouwen $g(~,~)$ als een functie met twee argumenten en die lineair is in deze argumenten, bijvoorbeeld

$$g( \alpha \vec A + \beta \vec B, \vec C) = \alpha g(\vec A,\vec C) + \beta g(\vec B,\vec C).$$ (148)

Merk op dat deze definitie van metriek geen gebruik maakt van de componenten van de vectoren. De metriek kan weer gezien worden als een topologisch object in ruimtetijd. In een specifieke basis $\{ \vec e_\alpha \}$ heeft de metrische tensor componenten die gegeven zijn door

$$g(\vec e_\alpha ,\vec e_\beta) = \vec e_\alpha \cdot \vec e_\beta = g_{\alpha \beta}.$$ (149)

De fundamentele rol van de metriek is om te zorgen voor een afbeelding tussen vectoren en 1-vormen. Om te begrijpen hoe dit werkt, beschouwen we $g$ en een enkele vector $\vec V$. Omdat $g$ twee vector argumenten nodig heeft, kunnen we de uitdrukking $g(\vec V,~)$, waar nog een argument ontbreekt, beschouwen als een functie van vectoren. Als men aan $g(\vec V,~)$ nog een vector toekent, dan krijgen we een reëel getal. Een dergelijke lineaire functie van vectoren die een reëel getal produceert, noemen we een 1-vorm. We noemen het $\tilde{V}$. Er geldt

$$g(\vec V,~) \equiv \tilde V(~),$$ (150)

waar we tussen de haakjes het vector argument moeten aanleveren. Dan geldt dat $\tilde{V}$ de 1-vorm is, die voor de vector $\vec A$ de waarde $\vec V \cdot \vec A$ heeft. Er geldt

$$\tilde{V}(\vec A) \equiv g(\vec V, \vec A)=\vec V \cdot \vec A .$$ (151)

Omdat $g$ symmetrisch is, kunnen we ook schrijven $g(~,\vec V) \equiv \tilde{V}(~)$. De componenten van $\tilde{V}$ vinden we als volgt,

$$V_\alpha \equiv \tilde{V}(\vec e_\alpha ) = \vec V \cdot \vec e_\... ...eta ) =(\vec e_\alpha \cdot \vec e_\beta ) V^\beta = g_{\alpha \beta} V^\beta.$$ (152)

Hiermee hebben we de relatie tussen vectoren en 1-vormen gevonden,

$$V_\alpha = g_{\alpha \beta} V^\beta .$$ (153)

We onderscheiden de componenten $V^\alpha$ van de vector $\vec V$ van de componenten $V_\alpha$ van de 1-vorm $\tilde{V}$ enkel door de positie van de index $\alpha$. De inverse van de metriek bestaat ook en wordt aangeduid met $g^{\alpha \beta}$. Hiermee vinden we

$$V^\alpha = g^{\alpha \beta} V_\beta .$$ (154)

Een vector is een $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right)$ tensor en een 1-vorm is een $\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \end{array} \right)$ tensor. We gebruiken de metrische tensor als afbeelding tussen beide. Op dezelfde manier kunnen we een $\left( \begin{array}{c} M \\ N \\ \end{array} \right)$ tensor afbeelden op een $\left( \begin{array}{c} N - 1 \\ M + 1 \\ \end{array} \right)$ tensor, of door gebruik te maken van de inverse metriek op een $\left( \begin{array}{c} N + 1 \\ M - 1 \\ \end{array} \right)$ tensor. Het is gebruikelijk om voor deze geassocieerde tensoren hetzelfde symbool te gebruiken, maar we dienen ons ervan bewust te zijn dat we te maken hebben met verschillende tensoren. Stel $T_{~~\gamma}^{\alpha \beta}$ zijn de componenten van een $\left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ \end{array} \right)$ tensor. Dan zijn

$$T_{~\beta \gamma}^\alpha \equiv g_{\beta \mu} T_{~~\gamma}^{\alpha \mu}$$ (155)

de componenten van een $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ \end{array} \right)$ tensor, omdat we het tweede 1-vorm argument veranderd hebben in een vector. We noemen dergelijke manipulaties het naar boven brengen en naar beneden halen van indices en gebruiken hierbij de metriek als afbeelding.

We kunnen dit ook doen met de metriek zelf en vinden

$$g_{~\beta}^\alpha \equiv g^{\alpha \mu} g_{\mu \beta} = \delta_{~\beta}^\alpha .$$ (156)

De laatste stap volgt uit het feit dat $g^{\alpha \beta}$ en $g_{\alpha \beta}$ elkaars inverse afbeelding zijn.

Een differentieerbare variëteit is een riemannse variëteit als de kwadratische booglengte langs een curve voldoet aan

$$ds^2 = g_{ij}dx^idx^j,$$ (157)

waarbij de componenten van de metrische tensor, $g_{ij} = g_{ij}(x^1, x^2, ...,x^n)$, continue functies zijn van de coördinaten en verschillen van constanten. In het speciale geval dat $g_{ij} = \delta_{ij}$, reduceert de riemannse ruimte tot de euclidische ruimte $\mathbb{E}^n$. De ruimte is vlak als het mogelijk is om een coördinatentransformatie te vinden, waarvoor $ds^2 = \epsilon_i(dx^i)^2$, waarbij iedere $\epsilon_i$ gelijk is aan $+1$ of $-1$. Een ruimte die niet vlak is, wordt gekromd genoemd.

De ruimtetijd van Minkowski is een van de belangrijkste differentieerbare variëteiten, het is de ruimtetijd die beschreven wordt door de speciale relativiteitstheorie. Eenvoudige behandelingen van SRT introduceren de bijbehorende minkowskimetriek zelfs niet expliciet, maar geven ons wel alle ingrediënten die we nodig hebben om deze af te leiden. In het bijzonder weten we dat er voorkeurstelsel zijn voor de coördinaten, de zogenaamde Lorentzframes, en dat als twee gebeurtenissen gescheiden zijn door coördinaatafstanden $(\Delta t, \Delta x, \Delta y, \Delta z)$ in een dergelijk frame, dan is het getal

$$\Delta s^2 = -c^2(\Delta t)^2 + (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2$$ (158)

onafhankelijk van het Lorentzframe. Als we onze coördinaten herdefiniëren door $x^0=ct, x^1=x, x^2=y, x^3=z$ en griekse letters gebruiken als ruimtetijd indices, dan vinden we

$$\Delta s^2 = -(\Delta x^0)^2 + (\Delta x^1)^2 + (\Delta x^2)^2 + (\Delta x^3)^2 = \eta_{\alpha \beta} \Delta x^\alpha \Delta x^\beta,$$ (159)

waarbij $\eta_{\alpha \beta} = {\rm diag}(-1,1,1,1)$. We zien dat $\vec V \cdot \vec W = \eta_{\alpha \beta} V^\alpha W^\beta$ en $\eta_{\alpha \beta}$ is in feite de metrische tensor en het Lorentzframe vormt de geassocieerde orthonormale basis. We zien direct de associatie tussen de componenten van een vector en zijn geassocieerde 1-vorm. In een Lorentzframe geldt

$$U_0 = \eta_{0\alpha}U^\alpha = -U^0,~~{\rm en}~~ U_x = U^x, U_y=U^y, U_z=U^z.$$ (160)

Een variëteit met metriek $g$ wordt enkel een minkowski ruimtetijd genoemd als er één enkel coördinatenstelsel bestaat dat de gehele variëteit bedekt en waarin $g$ de componenten $\eta_{\alpha \beta}$ heeft.