Curve

Het is gebruikelijk om bij een curve te denken aan een reeks verbonden punten in ruimtetijd. Dit noemen we een pad en we reserveren het woord curve voor een geparametriseerd pad. We definiëren een curve als een afbeelding van een interval van de reële lijn naar een pad in ruimtetijd. Dit betekent dat een curve een pad is, waarbij met elke puntgebeurtenis een reëel getal geassocieerd is. Dit getal noemen we de parameter. Een curve $\mathcal{P}(\lambda )$ is te identificeren als een verzameling puntgebeurtenissen die gerelateerd zijn via een parameter $\lambda$. Elke puntgebeurtenis heeft coördinaten die uitgedrukt kunnen worden als een functie van $\lambda$. Er geldt

$${\rm Curve:~} \{ x^0 = f(\lambda ), x^1 = g(\lambda ), x^2 = h(\lambda ), x^3 = k(\lambda ), a \leq \lambda \leq b \}.$$ (89)

Als we de parameter vervangen (maar niet de puntgebeurtenissen) door $\lambda^\prime = \lambda^\prime (\lambda )$, vinden we

$$\{ x^0 = f^\prime (\lambda^\prime ), x^1 = g^\prime (\lambda^\pri... ...3 = k^\prime (\lambda^\prime ), a^\prime \leq \lambda^\prime \leq b^\prime \},$$ (90)

waarbij $f^\prime$, $g^\prime$, $h^\prime$ en $k^\prime$ nieuwe functies zijn en waar geldt $a^\prime = \lambda^\prime (a)$ en $b^\prime = \lambda^\prime (b)$. Wiskundig noemen we dit een nieuwe curve, terwijl de afbeelding (het pad dat in ruimtetijd gevolgd wordt) hetzelfde blijft. Een oneindig aantal krommen kunnen dus hetzelfde pad hebben.

Voor de parameter wordt typisch de tijd op de klok van een meereizende waarnemer gebruikt. Als een metriek ontbreekt kunnen we echter niet spreken over lengte langs een curve.