Differentieerbare variëteit

Het oppervlak van de aarde vormt een twee-dimensionaal gekromd oppervlak. Dit oppervlak kan worden ingebed in de drie-dimensionale euclidische wereld.

Figuur 27: Het aardoppervlak kan in kaart worden gebracht met een voldoend aantal elkaar gedeeltelijk overlappende kaarten ($n \geq 2$ kaarten).

Een belangwekkende vraag is nu: kan men over dergelijke twee-dimensionale oppervlakken spreken zonder het hulpmiddel van de drie-dimensionale euclidische ruimte? In de algemene relativiteitstheorie is ruimtetijd een gekromde vier-dimensionale ruimte; deze willen we graag beschrijven zonder haar in te bedden in een hoger dimensionale euclidische ruimte. Het antwoord is bevestigend, zoals blijkt uit het volgende voorbeeld: in de geografie beschrijft men het aardoppervlak, een oppervlak dat ongelijk is aan de twee-dimensionale ruimte $\mathbb{E}^2$, met behulp van een atlas, bestaande uit twee-dimensionale kaarten, waarbij de drie-dimensionale ruimte niet nodig is. Een kaart beschrijft een stukje van het aardoppervlak met behulp van een stukje $\mathbb{R}^2$.

Het gehele aardoppervlak (zie Fig. 27) kan in kaart worden gebracht met een voldoend aantal elkaar gedeeltelijk overlappende kaarten. Teneinde ook de polen correct te kunnen afbeelden zijn er minstens 2 kaarten nodig. Voor het realiseren van een kaart zijn verschillende afbeeldingen $f$, $g$, $...$ mogelijk. Hier passen we cilinderprojectie toe (de polen worden hierbij niet correct afgebeeld. Mercatorprojectie is een cilinderprojectie, waarna een breedtegraad-afhankelijke schaalcorrectie wordt toegepast, hetgeen leidt tot hoekgelijkheidMerk op dat wanneer we een klein gebied rond een bepaald punt steeds verder uitvergroten, we de topologische structuur van de euclidische ruimte meer en meer benaderen.

Figuur 28: De omgeving $U$ en $V$ in $\mathcal{S}$ overlappen (het gearceerde gebied). De bijbehorende $n-$kaarten naar $\mathbb{R}^n$, $(U,f)$ en $(V,g)$, geven twee verschillende afbeeldingen (en dus twee coördinatenstelsels) in het overlapgebied. De relatie tussen deze coördinaten karakteriseert de differentieerbaarheidsklasse van de variëteit.

Wiskundig gebruiken we de volgende definities. Stel dat $\mathcal{S}$ een verzameling is. Een $n$-kaart van een punt $\mathcal{P}$ van $\mathcal{S}$ is een paar $(U,\kappa )$, waarbij $U \subset \mathcal{S}$ een deelverzameling is die $\mathcal{P}$ bevat, en $\kappa$ een bijectieve afbeelding $\kappa : U \longmapsto O \subset \mathbb{R}^n$ met $O$ een open deelverzameling van $\mathbb{R}^n$. Een kaart $(U,\kappa )$ voegt aan ieder punt $\mathcal{P} \in U \subset \mathcal{S}$ coördinaten $(x^1,x^2,...,x^n)$ toe gedefinieerd door $(x^1,x^2, ..., x^n) \equiv \kappa (\mathcal{P}) \in \mathbb{R}^n$. We noteren ook wel korter $(x^i) \equiv (x^1,x^2, ...,x^n)$, waarbij stilzwijgend $i=1,2,...,n$. De associatie van punten met de waarden van hun parameters kan men zien als een afbeelding van punten van een variëteit naar punten van de euclidische ruimte met de juiste dimensie. Een variëteit lijkt lokaal op een euclidische ruimte: hij is `glad' en heeft een bepaald aantal dimensies.

Via de afbeelding $\kappa$ krijgt de oorspronkelijke deelverzameling $U$ van $\mathcal{S}$ eveneens sommige van de structuren die de open deelverzameling $O \subset \mathbb{R}^n$ heeft. Een kaart geeft een coördinatisering van $U$; een kaart wordt ook wel een coördinatenstelsel van $U$ genoemd. De coördinatenlijnen in $O$ worden met $\kappa^{-1}$ teruggebracht naar $U$. Een kaart moet een bijectieve, bicontinue afbeelding zijn van het aardoppervlak naar $\mathbb{R}^2$. Een bijectieve afbeelding $\kappa$ heet bicontinu als $\kappa$ en $\kappa^{-1}$ continu zijn. Een bicontinue bijectie heet een homeomorfisme.

Figuur: Een vergroting van Fig. 28 toont hoe het overlappende gebied een afbeelding maakt van $\mathbb{R}^n$ naar $\mathbb{R}^n$, die gegeven wordt door $f^{-1}$ gevolgd door $g$ (dit wordt $g \circ f^{-1}$ genoemd).

We tonen alles nog eens in Fig. 29.

Een $n$-atlas op $\mathcal{S}$ is een collectie kaarten $\{ (U_\alpha , \kappa_\alpha )\}$ zo dat $\{U_\alpha \}$ een overdekking van $\mathcal{S}$ is, dit wil zeggen $\mathcal{S} = \cup_{\alpha} U_\alpha$. Door een atlas wordt ieder punt van $\mathcal{S}$ minstens één keer in kaart gebracht. Door de atlas op verzameling $\mathcal{S}$ wordt het mogelijk analyse te bedrijven en kan men bijvoorbeeld over differentieerbaarheid gaan praten.

Figuur 30: Een kaart geeft een afbeelding van het aardoppervlak naar de 2D euclidische ruimte. Op de kaart lijkt de afstand tussen Montreal en Parijs op die tussen Bogota en Lagos.

Samenvattend kunnen we het volgende zeggen. Het begin is een structuurloze verzameling $\mathcal{S}$. Deze wordt verdeeld in elkaar gedeeltelijk overlappende deelverzamelingen, en deze deelverzamelingen worden stuk voor stuk in kaart gebracht, met andere woorden deze deelverzamelingen worden gecoördinatiseerd. Als $\mathcal{S}$ helemaal is overdekt door zulke gebiedjes, en als de overgangen tussen de verschillende coördinatenstelsels voldoende vaak differentieerbaar zijn, dan heet $\mathcal{S}$ een differentieerbare variëteit. Het hebben van een kaart is een goede eerste stap in de beschrijving van het aardoppervlak. Echter voor het berekenen van afstanden is er meer informatie nodig, want we dienen te weten hoe afstanden op de kaart overeenkomen met afstanden op het aardoppervlak. Deze informatie wordt gegeven door de metriek. De differentieerbare variëteit die ruimtetijd beschrijft heeft deze extra structuur. De metrische tensor volgt uit de Einsteinvergelijkingen en wordt bepaald door de energie-, massa- en impulsverdelingen, samengevat door de energie-impuls tensor.