We voeren in deze paragraaf een centraal begrip van de algemene relativiteitstheorie in, namelijk het begrip puntgebeurtenis32. Dit is een zogeheten primitief begrip, dit wil zeggen een begrip dat wordt gedefinieerd in termen van andere begrippen. Wat dit betreft is het vergelijkbaar met het begrip `punt' uit de euclidische meetkunde. Primitieve begrippen worden niet gedefinieerd, omdat in hun definities weer andere begrippen optreden, die weer gedefinieerd zouden moeten worden, enz. Aan deze oneindige regressie wordt een einde gemaakt in de axiomatische methode. De daarin optredende axioma's zijn te beschouwen als impliciete definities van de in de theorie voorkomende primitieve begrippen. We volgen derhalve een axiomatische opbouw van de algemene relativiteitstheorie. Hier introduceren we het begrip puntgebeurtenis met voorbeelden. In de materiële werkelijkheid om ons heen vinden allerlei gebeurtenissen plaats: de zon gaat op, twee auto's botsen op elkaar, ... Dat zijn allemaal gebeurtenissen en karakteristiek voor gebeurtenissen is dat ze zich in een zeker gebied van de ruimte afspelen en dat ze in een zeker tijdinterval gebeuren. Gebeurtenissen zijn vaak zeer complex en we ontleden ze dan ook verder. Een gebeurtenis kan worden beschouwd als te zijn opgebouwd uit zeer vele gebeurtenissen, die op een kleiner gebied en een kleiner tijdinterval betrekking hebben. Het geïdealiseerde limietgeveal van een gebeurtenis, die op een oneindig klein gebied plaats heeft en oneindig kort duurt noemen we een puntgebeurtenis. Een puntgebeurtenis is een gebeurtenis met een scherp bepaalde plaats en een scherp bepaald tijdstip. Een voorbeeld van een puntgebeurtenis is de explosie van een oneindig klein rotje met een oneindig kort durende knal. Een ander voorbeeld is de botsing van twee massapunten, immers als de twee massapunten elkaar raken is er sprake van een scherp bepaalde plaats en een scherp bepaald tijdstip.
Het begrip puntgebeurtenis houdt een extrapolatie van onze ervaring in,
omdat er een eindige ondergrens is voor het scheidend vermogen voor
afstanden en tijdsduren. Ieder fysisch proces is te beschouwen als een
collectie van puntgebeurtenissen. De verzameling van alle mogelijke
puntgebeurtenissen noemen we ruimtetijd. Ruimtetijd is niet
slechts een verzameling, ruimtetijd heeft meer mathematische structuur.
Het fundamentele begrip in de differentiaalmeetkunde is dat van een
differentieerbare ruimte (differentieerbare variëteit). We zullen
trachten dit plausibel te maken en daarna postuleren dat ruimtetijd een
differentieerbare variëteit is.