Tensorcalculus

Stel we hebben een vector $\vec V$ waarvan de componenten $V^\alpha$ gegeven zijn ten opzichte van een willekeurig coördinatenstelsel $\{ \vec e_\alpha \}$. We willen nu de afgeleide van deze vector bepalen. Er geldt

$$\vec V = V^\alpha \vec e_\alpha ~~\rightarrow~~ {\partial \vec V... ...eta} \vec e_\alpha + V^\alpha {\partial \vec e_\alpha \over \partial x^\beta},$$ (259)

waarbij $\beta$ gelijk is aan 0 of $1$, etc. De laatste term wordt veroorzaakt doordat de basisvectoren niet overal constant hoeven te zijn. Omdat $\partial \vec e_\alpha / \partial x^\beta$ zelf een vector is, kunnen we deze schrijven als een lineaire combinatie van basisvectoren. Hiertoe introduceren we het symbool $\Gamma_{~\alpha \beta}^\mu$ om de coëfficiënten aan te duiden. Er geldt

$${\partial \vec e_\alpha \over \partial x^\beta} = \Gamma_{~\alpha \beta}^\mu \vec e_\mu .$$ (260)

De interpretatie van $\Gamma_{~\alpha \beta}^\mu$ is dat het de $\mu$-de component van ${\partial \vec e_\alpha \over \partial x^\beta}$ voorstelt. Dit object heet een christoffelsymbool en heeft drie indices: de eerste ($\alpha$) geeft de basisvector aan die wordt gedifferentieerd; de tweede ($\beta$) geeft de coördinaat aan waarnaar wordt gedifferentieerd; en de derde ($\mu$) geeft de component van de resulterende afgeleide vector aan. Alle indices dienen te refereren naar hetzelfde coördinatenstelsel.

Met bovenstaande definitie van de christoffelsymbolen kunnen we vergelijking (265) schrijven als

$${\partial \vec V \over \partial x^\beta} = {\partial V^\alpha \ov... ...tial x^\beta} \vec e_\alpha + V^\alpha \Gamma_{~\alpha \beta}^\mu \vec e_\mu .$$ (261)

De laatste term bevat twee sommaties (over $\alpha$ en $\mu$) en als we de bijbehorende dummie indices herlabelen, vinden we

$${\partial \vec V \over \partial x^\beta} = {\partial V^\alpha \ov... ...r \partial x^\beta} + V^\mu \Gamma_{~\mu \beta}^\alpha \right) \vec e_\alpha .$$ (262)

We zien dat het vectorveld $\partial \vec V / \partial x^\beta$ de componenten ${\partial V^\alpha \over \partial x^\beta} + V^\mu \Gamma_{~\mu \beta}^\alpha$ heeft. Merk op dat we voor partiële afgeleiden reeds de komma-notatie gebruiken, ${\partial V^\alpha \over \partial x^\beta} = V_{~,\beta}^\alpha$. We definiëren een nieuwe notatie

$$V_{~;\beta}^\alpha \equiv V_{~,\beta}^\alpha + V^\mu \Gamma_{~\mu... ... {\partial \vec V \over \partial x^\beta} = V_{~;\beta}^\alpha \vec e_\alpha .$$ (263)

Nu is ${\partial \vec V \over \partial x^\beta}$ een vectorveld als we de index $\beta$ opvatten als één vast getal. Deze index kan echter meer waarden aannemen en we kunnen ${\partial \vec V \over \partial x^\beta}$ dan ook beschouwen als zijnde geassocieerd met een $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ \end{array} \right)$ tensorveld dat de vector $\vec e_\beta$ afbeeldt op de vector ${\partial \vec V \over \partial x^\beta}$. Dit tensorveld wordt de covariante afgeleide van $\vec V$ genoemd⁶⁴ en aangeduid met $\nabla \vec V$. Haar componenten zijn

$$(\nabla \vec V )_{~\beta}^\alpha = (\nabla_\beta \vec V)^\alpha = V_{~;\beta}^\alpha .$$ (264)

Op een cartesische basis zijn de componenten gelijk aan $V_{~,\beta}^\alpha$ omdat dan de vectorvelden van de basis constant zijn. Op een gekromde basis moeten we rekening houden met de afgeleiden van de basisvectoren en krijgen we $V_{~;\beta}^\alpha$ als componenten van $\nabla \vec V$ in het coördinatensysteem waaraan de christoffelsymbolen refereren. Er bestaat één enkele $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ \end{array} \right)$ tensor die we $\nabla \vec V$ noemen. In cartesische coördinaten zijn de componenten gelijk aan ${\partial V^\alpha \over \partial x^\beta}$. In algemene coördinaten $\{ x^{\mu^\prime} \}$ worden de componenten $V_{~;\beta^\prime}^{\alpha^\prime}$ genoemd. We kunnen deze componenten op de volgende manieren vinden: (i) reken ze direct uit met behulp van vergelijking (269) hetgeen kennis vereist van de christoffelsymbolen voor dit coördinatenstelsel; of (ii) verkrijg ze via de gebruikelijke tensortransformatie vanuit een cartesisch systeem naar $\{ x^{\mu^\prime} \}$. We demonstreren de eerste methode aan de hand van een voorbeeld.

Voorbeeld: tensorcalculus in poolcoördinaten.

In poolcoördinaten is het vectorveld $\vec e_x$ constant: hetzelfde op elk punt. In poolcoördinaten heeft dit veld de componenten $\vec e_x \rightarrow (\Lambda_{~x}^r, \Lambda_{~x}^\theta) = (\cos{\theta},-r^{-1}\sin{\theta})$. Deze componenten zijn duidelijk niet constant, terwijl $\vec e_x$ dat wel is. Dit komt omdat de componenten refereren naar een niet constante basis. Als we deze componenten zouden differentiëren naar, zeg, $\theta$, dan vinden we zeker niet $\partial \vec e_x / \partial \theta$, want dat dient gelijk te zijn aan nul. We zien dus dat enkel het nemen van de afgeleide van de componenten van een vector niet de afgeleide van de vector oplevert. We dienen ook de niet-constante basisvectoren te differentiëren, in overeenstemming met vergelijking (265). Omdat de cartesische basisvectoren $\vec e_x$ en $\vec e_y$ constante velden zijn (en hun afgeleiden dus verdwijnen) vinden we

Evenzo vinden we

$$\begin{array}{rcl} {\partial \over \partial r} \vec e_\theta... ...ec e_x - r\sin{\theta} \vec e_y = -r \vec e_r .\\ \end{array}$$ (266)

We kunnen nu de afgeleide $\partial \vec e_x / \partial \theta$ uitrekenen en vinden

Vereenvoudigen levert $\partial \vec e_x / \partial \theta = 0$ zoals we verwachten.

We kunnen ook de christoffelsymbolen berekenen en vinden

$$\begin{array}{rcccl} (1)~~~~{\partial \vec e_r \over \partia... ...r = -r, ~~\Gamma_{~\theta \theta}^\theta = 0 . \\ \end{array}$$ (268)

We zien dat alle indices naar hetzelfde coördinatenstelsel refereren.

De covariante afgeleide verschilt enkel van de partiële afgeleide als de basisvectoren niet constant zijn. Een scalairveld $\phi$ hangt echter niet van de basisvectoren af en dus is haar covariante afgeleide gelijk aan haar partiële afgeleide en dat is de gradiënt,

$$\nabla_\alpha \phi = \partial \phi / \partial x^\alpha;~~~~\nabla \phi = \tilde{\rm d}\phi .$$ (269)

Vervolgens beschouwen we de divergentie en Laplace operatoren. In cartesische coördinaten is de divergentie van een vector $V^\alpha$ gelijk aan $V_{~,\alpha}^\alpha$. Dit is een getal (scalairveld) dat we krijgen door contractie van de indices van $V_{~\beta}^\alpha$. Deze contractie (dit getal dus) hangt niet van het coördinatenstelsel af en we kunnen de divergentie van $\vec V$ dan ook uitrekenen in andere coördinaten $\{ x^{\mu^\prime} \}$ door weer de componenten van $\nabla \vec V$ te contraheren over haar twee indices. Het resultaat is een getal met de waarde $V_{~;\alpha^\prime}^{\alpha^\prime}$. Het is belangrijk om in te zien dat dit hetzelfde getal is als $V_{~,\alpha}^\alpha$ in cartesische coördinaten. Dus

$$V_{~,\alpha}^\alpha = V_{~;\alpha^\prime}^{\alpha^\prime},$$ (270)

waarbij de normale indices refereren naar cartesische coördinaten, terwijl die met accenten refereren naar een willekeurig systeem.

Wellicht is de lezer vertrouwder met de Laplace operator en dat is de divergentie van de gradiënt. Vergelijking (276) geeft de divergentie van een vector, terwijl de gradiënt een 1-vorm is. We dienen deze 1-vorm dus eerst om te schrijven in een vector. We zullen dit weer uitwerken aan de hand van een voorbeeld.

Voorbeeld: divergentie en Laplace operator in poolcoördinaten.

In poolcoördinaten hebben we voor de divergentie

$$V_{~;\alpha}^\alpha = {\partial V^r \over \partial r} + {\partia... ... {\partial \over \partial r}(rV^r) +{\partial \over \partial \theta} V^\theta ,$$ (271)

waarbij we vergelijking (269) en de verschillende christoffelsymbolen in poolcoördinaten (vergelijking (274)) gebruikt hebben. Teneinde de Laplace operator te vinden, starten we met een scalairveld $\phi$ en bepalen we de vector gradiënt. Dat is reeds gebeurd in vergelijking (264). We vullen deze vector in in vergelijking (277) en vinden

$$\nabla \cdot \nabla \phi \equiv \nabla^2 \phi = {1 \over r} {\par... ... \partial r} \right) + {1 \over r^2}{\partial^2 \phi \over \partial \theta^2} .$$ (272)

Dit is de Laplace operator is euclidische poolcoördinaten en deze is identiek aan

$$\nabla^2 \phi = {\partial^2 \phi \over \partial x^2} + {\partial^2 \phi \over \partial y^2} .$$ (273)

Ter afronding bekijken we de afgeleiden van 1-vormen en hogere-orde tensorvelden. Om de afgeleide van een 1-vorm te vinden gebruiken we de eigenschap dat een 1-vorm en vector samen een scalair geven. Dus als $\tilde p$ een 1-vorm is en $\vec V$ een vector, dan is voor gegeven $\beta$, $\nabla_\beta \tilde p$ ook een 1-vorm, $\nabla_\beta \vec V$ een vector, en $<\tilde p, \vec V > \equiv \phi$ een scalair. In een willekeurig coördinatenstelsel wordt deze scalair geschreven als $\phi = p_\alpha V^\alpha$. Daarom geldt voor $\nabla_\beta \phi$ volgens de productregel voor afgeleiden

$$\nabla_\beta \phi = \phi_{,\beta} = {\partial p_\alpha \over \partial x^\beta}V^\alpha + p_\alpha {\partial V^\alpha \over \partial x^\beta} .$$ (274)

We kunnen vergelijking (269) gebruiken om $\partial V^\alpha / \partial x^\beta$ te vervangen door $V_{~;\beta}^\alpha$ hetgeen de componenten zijn van $\nabla_\beta \vec V$ en vinden

$$\nabla_\beta \phi = {\partial p_\alpha \over \partial x^\beta} V^... ...mu \Gamma_{~\alpha \beta}^\mu \right) V^\alpha + p_\alpha V_{~;\beta}^\alpha ,$$ (275)

waarbij we in de laatste stap termen verwisseld hebben en dummie indices andere namen gegeven. Van iedere term in bovenstaande vergelijking weten we dat het een tensorcomponent is voor willekeurige $\vec V$, behalve van die tussen haakjes. Omdat vermenigvuldigen en optellen van tensorcomponenten altijd nieuwe tensoren oplevert, moet het zo zijn dat de term tussen haakjes ook een tensor is. Dit is de covariante afgeleide van $\tilde p$. Er geldt dus

$$(\nabla_\beta \tilde p)_\alpha \equiv (\nabla \tilde p)_{\alpha \... ...quiv p_{\alpha ;\beta} = p_{\alpha ,\beta} - p_\mu \Gamma_{~\alpha \beta}^\mu .$$ (276)

Verder geldt

$$\nabla_\beta (p_\alpha V^\alpha ) = p_{\alpha ; \beta}V^\alpha + p_\alpha V_{~;\beta}^\alpha .$$ (277)

We zien dat covariant differentiëren aan dezelfde soort productregel voldoet als vergelijking (280). Dit kan ook niet anders, want in cartesische coördinaten staat $\nabla$ voor partiëel differentiëren van componenten.

We kunnen nu de volgende uitdrukkingen vergelijken.

$$\begin{array}{rcl} V_{~;\beta}^\alpha & = & V_{~,\beta}^\alp... ...a ,\beta} - p_\mu \Gamma_{~\alpha \beta}^\mu , \\ \end{array}$$ (278)

en zien enkele overeenkomsten en enkele verschillen. We herinneren ons dat de laatste index van het christoffelsymbool de differentiatie index is. Dit betekent dat enkel de andere indices met de metriek naar boven of beneden kunnen worden gehaald. Wat er dan nog overblijft is het tekenverschil. Hierbij helpt het om zich te herinneren dat $\Gamma_{~\mu \beta}^\alpha$ te maken had met afgeleiden van basisvectoren. Het lijkt daarom redelijk te veronderstellen dat $-\Gamma_{~\alpha \beta}^\mu$ te maken heeft met afgeleiden van basis 1-vormen. De tekenverandering duidt erop dat de basis 1-vormen tegenovergesteld veranderen aan de basisvectoren, hetgeen redelijk is als we beseffen dat de contractie $< \tilde \omega^\alpha , \vec e_\beta > = \delta_{~\beta}^\alpha$ een constante is met afgeleide nul.

Dezelfde procedure leidt ook tot

We zien dat deze uitdrukkingen een bepaalde systematiek hebben. Zo is er een $\Gamma$ term voor elke index; een boven index wordt als een vector behandeld en een beneden index als een 1-vorm.