Vectoren en 1-vormen

De traditionele manier waarop een vector gedefinieerd wordt, is door te stellen dat hij onder willekeurige coördinatentransformaties op dezelfde manier transformeert als de verplaatsing. Hiermee bedoelen we dat een vector $\Delta \vec r$ voorgesteld kan worden als een verplaatsing $(\Delta x , \Delta y)$, of in poolcoördinaten als $(\Delta r, \Delta \theta )$, of in het algemeen door $(\Delta \xi , \Delta \eta )$. Voor kleine $(\Delta x , \Delta y)$ geldt dan

$$\left( \begin{array}{c} \Delta \xi \\ \Delta \eta \\ \end{ar... ...ht) \left( \begin{array}{c} \Delta x \\ \Delta y \\ \end{array} \right) .$$ (239)

We stellen nu dat een willekeurige vector $\vec V$ op precies dezelfde manier dient te transformeren. Dus geldt

$$V^{\alpha^\prime} = \Lambda_{~\beta}^{\alpha^\prime} V^\beta ~~~... ...\over \partial x} & {\partial \eta \over \partial y} \\ \end{array} \right) ,$$ (240)

waarbij de index $\beta$ refereert aan het systeem $(x,y)$ en index $\alpha^\prime$ aan het systeem $(\xi , \eta )$.

Er is een moderne en meer natuurlijke manier om vectoren en 1-vormen te introduceren. Hiertoe beschouwen we een scalair veld $\phi$. Gegeven de coördinaten $(\xi , \eta )$ is het altijd mogelijk om de afgeleiden $\partial \phi / \partial \xi$ en $\partial \phi / \partial \eta$ te vormen. We definiëren de 1-vorm $\tilde{\rm d}\phi$ als het geometrisch object met componenten

$$\tilde {\rm d} \phi \rightarrow (\partial \phi / \partial \xi ,\partial \phi / \partial \eta )$$ (241)

in het coördinatenstelsel $(\xi , \eta )$. Dit is algemene definitie van een oneindig aantal 1-vormen, elk voor een ander scalair veld. De transformatie van de componenten volgt uit de kettingregel,

$${\partial \phi \over \partial \xi} = {\partial x \over \partial ... ...partial x} + {\partial y \over \partial \xi} {\partial \phi \over \partial y},$$ (242)

en evenzo voor ${\partial \phi \over \partial \eta}$. We vinden hiermee

$$\left( \begin{array}{c} \partial \phi / \partial \xi \\ \parti... ...er \partial \eta} & {\partial y \over \partial \eta} \\ \end{array} \right) .$$ (243)

We zien dat componenten van 1-vormen transformeren met $\Lambda_{~\beta^\prime}^\alpha$ en dat is tegenovergesteld aan het transformatiegedrag van vectorcomponenten, zoals gegeven in vergelijking (246).⁶¹

We beschouwen nu de afgeleide van een scalair veld $\phi$ langs een curve ${\rm d}\phi / {\rm d}s$ (zie ook sectie 4.5.2). Deze hangt af van de parameter $s$ en als we die veranderen, dan verandert ook de afgeleide. We kunnen dit schrijven als

$${{\rm d}\phi \over {\rm d}s} = < \tilde{\rm d} \phi , \vec V >,$$ (245)

met $\vec V$ de vector met componenten $({\rm d}\xi / {\rm d}s, {\rm d}\eta /{\rm d}s)$. Deze vector hangt enkel van de curve af, terwijl $\tilde{\rm d}\phi$ enkel van $\phi$ afhangt. Daarom is $\vec V$ karakteristiek voor de curve en wordt de tangent vector genoemd. We kunnen een vector dus opvatten als een object dat ${\rm d}\phi / {\rm d}s$ produceert als $\phi$ gegeven is. Dit leidt tot de moderne opvatting dat een tangent vector aan een curve ${\rm d} / {\rm d}s$ genoemd moet worden⁶². Elke curve (met parameter $s$) heeft een tangent vector $\vec V$ gedefinieerd als een lineaire functie die een 1-vorm als argument neemt en afbeeldt naar het reële getal ${\rm d}\phi / {\rm d}s$.

Onder een coördinatentransformatie gebeurt er niets met $s$ (de definitie van deze parameter had niets met coördinaten te maken), maar veranderen de componenten van $\vec V$ volgens de kettingregel als

$$\left( \begin{array}{c} {{\rm d} \xi \over {\rm d}s} \\ {{\rm... ...d} x \over {\rm d}s} \\ {{\rm d} y \over {\rm d}s} \\ \end{array} \right) .$$ (251)

Dit is dezelfde transformatiewet die we eerder voor vectoren hebben gevonden; vergelijk dit met uitdrukking (246) en op basis van deze correspondentie mogen we $\vec V$ een vector noemen. Met deze informatie kunnen we onze beschouwing in poolcoördinaten voorzetten.

Voorbeeld: basis 1-vormen en vectoren in poolcoördinaten.

Voor de basiscoördinaten geldt $\vec e_{\alpha^\prime} = \Lambda_{~\alpha^\prime}^\beta \vec e_\beta$ en dit levert

$$\vec e_r = \Lambda_{~r}^x \vec e_x + \Lambda_{~r}^y \vec e_y = {... ...y \over \partial r} \vec e_y = \cos{\theta} \vec e_x + \sin{\theta} \vec e_y ,$$ (252)

en op dezelfde wijze

$$\vec e_\theta = {\partial x \over \partial \theta} \vec e_x + {\p... ...artial \theta} \vec e_y = -r \sin{\theta} \vec e_x + r \cos{\theta} \vec e_y .$$ (253)

Merk op dat we gebruiken dat $\Lambda_{~r}^x = {\partial x \over \partial r}$. Op dezelfde wijze kunnen we de andere kant op transformeren met $\Lambda_{~x}^r = {\partial r \over \partial x}$. De transformatiematrices zijn eenvoudig: we hoeven enkel te kijken naar welke index boven of beneden is en we weten welke afgeleide we dienen te gebruiken.

De basis 1-vormen vinden we op analoge wijze. Er geldt $\tilde{\rm d} p^{\alpha^\prime} = \Lambda_{~\beta}^{\alpha^\prime} \tilde{\rm d}p^\beta$ en dus

$$\tilde {\rm d}\theta = {\partial \theta \over \partial x} \tilde ... ...ver r} \sin{\theta} \tilde {\rm d}x + {1 \over r} \cos{\theta} \tilde {\rm d}y,$$ (254)

en ook

$$\tilde {\rm d} r = \cos{\theta} \tilde {\rm d}x + \sin{\theta} \tilde {\rm d}y .$$ (255)

Figuur 45: Links: basisvectoren voor poolcoördinaten; rechts: basis 1-vormen.

In Fig. 45 trachten we de basisvectoren en 1-vormen grafisch weer te geven. We tekenen de 1-vormen door oppervlakken te tekenen met constante $r$ of $\theta$ voor respectievelijk $\tilde {\rm d}r$ en $\tilde {\rm d}\theta$. Merk op dat de bases veranderen van punt tot punt! Ook de lengten van de bases zijn niet constant. We vinden bijvoorbeeld $\vert \vec e_\theta \vert^2 = \vec e_\theta \cdot \vec e_\theta =r^2 \sin^2{\theta} + r^2 \cos^2{\theta} = r^2,$ zodat de lengte van $\vec e_\theta$ toeneemt met haar afstand tot de oorsprong. We hebben dus ook geen eenheidsbasis meer. Er geldt $\vert \vec e_r \vert = 1, \vert \tilde {\rm d}r \vert = 1, \vert \vec e_\theta \vert = 1, \vert \tilde{\rm d} \theta \vert = r^{-1}$.

De inproducten kunnen worden uitgerekend, omdat we de metriek in cartesische coördinaten $(x,y)$ kennen: $\vec e_x \cdot \vec e_x = \vec e_y \cdot \vec e_y = 1$ en $\vec e_x \cdot \vec e_y = 0$. In tensornotatie is dat $g(\vec e_\alpha , \vec e_\beta ) = \delta_{\alpha \beta}$ voor cartesische coördinaten. De metriek g in poolcoördinaten heeft de componenten $g_{\alpha^\prime \beta^\prime} = g(\vec e_{\alpha^\prime} , \vec e_{\beta^\prime} ) = \vec e_{\alpha^\prime} \cdot \vec e_{\beta^\prime}$ en dit levert $g_{rr} = 1$, $g_{\theta \theta} = r^2$ en $g_{r\theta} = 0$. We kunnen de componenten van $g$ ook schrijven als

$$(g_{\alpha \beta} )_{\rm pool} = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0... ...e_r + {\rm d} \theta \vec e_\theta \vert^2 = {\rm d}r^2 + r^2 {\rm d}\theta^2 .$$ (256)

De laatste formule in bovenstaande uitdrukking⁶³ geeft de lengte van een willekeurige en oneindig kleine verplaatsing ${\rm d}\vec l$, hetgeen een handige manier is om de componenten van de metrische tensor en tegelijkertijd de coördinaten van het lijnelement ${\rm d}\vec l$ te tonen.

De metriek heeft een inverse

$$(g_{\alpha \beta} )_{\rm pool} = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0... ... = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & r^{-2} \\ \end{array} \right) ,$$ (257)

waarmee geldt dat $g^{rr} = 1$, $g^{r\theta} = 0$ en $g^{\theta \theta} = 1/r^2$. We kunnen dit gebruiken om een afbeelding te maken tussen vectoren en 1-vormen. Stel bijvoorbeeld dat $\phi$ een scalairveld is en $\tilde{\rm d}\phi$ haar gradiënt, dan heeft de vector $\vec {\rm d}\phi$ de componenten

$$(\vec {\rm d} \phi )^\alpha = g^{\alpha \beta} \phi_{,\beta}~~~~{... ... ={ 1\over r^2} {\partial \phi \over \partial \theta} \\ \end{array} \right.$$ (258)

Dus terwijl $(\phi_{,r},\phi_{,\theta})$ componenten van een 1-vorm zijn, heeft de vector gradiënt componenten $(\phi_{,r},\phi_{,\theta}/r^2)$. Ondanks dat we in de euclidische ruimte zijn, zien we dat vectoren in het algemeen componenten hebben die verschillen van die van de geassocieerde 1-vormen. Cartesische coördinaten zijn de enige coördinaten waarvoor de componenten hetzelfde zijn (want $g_{\alpha \beta}={\rm diag}(1,1)$).