Berekenen van de christoffelsymbolen uit de metriek

Vergelijking (291) leidt tot een uiterst belangrijk resultaat: we kunnen deze vergelijking gebruiken om $g_{\alpha \beta , \mu}$ te bepalen in termen van $\Gamma_{~\alpha \beta}^\mu$. Het omgekeerde blijkt ook waar te zijn: $\Gamma_{~\alpha \beta}^\mu$ uitdrukken in termen van $g_{\alpha \beta , \mu}$. Dat geeft een eenvoudige manier om de christoffelsymbolen uit te rekenen. We moeten eerst echter de relatie $\Gamma_{~\alpha \beta}^\mu \equiv \Gamma_{~\beta \alpha}^\mu$ bewijzen, die geldt in elk coördinatenstelsel. Om deze symmetrie te bewijzen beschouwen we een willekeurig scalairveld $\phi$. De eerste afgeleide $\nabla \phi$ is een 1-vorm met componenten $\phi_{,\beta}$. De tweede covariante afgeleide $\nabla \nabla \phi$ heeft componenten $\phi_{,\beta ; \alpha}$ en is een $\left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ \end{array} \right)$ tensor. In cartesische coördinaten zijn de componenten

$$\phi_{,\beta ,\alpha} \equiv {\partial \over \partial x^\alpha} {\partial \over \partial x^\beta} \phi$$ (289)

en we zien dat deze symmetrisch zijn in $\alpha$ en $\beta$, omdat partiële afgeleiden commuteren. Echter als een tensor symmetrisch is in één basis, dan is hij symmetrisch in alle bases. Dus geldt

$$\phi_{,\beta ;\alpha} = \phi_{,\alpha;\beta }$$ (290)

in elke basis. Gebruikmaken van de definitie gegeven in vergelijking (282) levert

$$\phi_{,\beta ,\alpha } - \phi_{,\mu}\Gamma_{~\beta \alpha}^\mu = \phi_{,\alpha ,\beta} - \phi_{,\mu} \Gamma_{~\alpha \beta}^\mu$$ (291)

in elk coördinatensysteem. Maar er geldt $\phi_{,\alpha,\beta } = \phi_{,\beta ,\alpha}$ en dit levert

$$\Gamma_{~\alpha \beta }^\mu \phi_{,\mu} = \Gamma_{~\beta \alpha}^\mu \phi_{,\mu}$$ (292)

voor willekeurige $\phi$. Hiermee is bewezen dat in elk coördinatenstelsel

$$\Gamma_{~\alpha \beta}^\mu \equiv \Gamma_{~\beta \alpha}^\mu .$$ (293)

We gebruiken bovenstaande symmetrie om vergelijking (291) te inverteren. Dat is tevens een mooi voorbeeld van geavanceerde index-manipulatie. Hiertoe schrijven we vergelijking (291) in drie permutaties van de indices,

$$\begin{array}{rcl} g_{\alpha \beta , \mu} & = & \Gamma_{~\al... ...\mu} - \Gamma_{~\mu \alpha}^\nu g_{\beta \nu}. \\ \end{array}$$ (294)

We tellen deze op, groeperen termen, gebruiken de symmetrie van $g$, $g_{\beta \nu} = g_{\nu \beta}$ en vinden

$$g_{\alpha \beta , \mu} + g_{\alpha \mu, \beta} - g_{\beta \mu, \a... ...nu \mu} + (\Gamma_{~\beta \mu}^\nu + \Gamma_{~\mu \beta}^\nu ) g_{\alpha \nu}.$$ (295)

In deze vergelijking vallen de eerste twee termen rechts weg vanwege de symmetrie van $\Gamma$ en vinden we

$$g_{\alpha \beta , \mu} + g_{\alpha \mu, \beta} -g_{\beta \mu, \alpha} = 2 g_{\alpha \nu} \Gamma_{~\beta \mu}^\nu .$$ (296)

Delen door 2, vermenigvuldigen met $g^{\alpha \gamma}$ (en sommeren over $\alpha$), en gebruik maken van $g^{\alpha \gamma} g_{\alpha \nu} \equiv \delta_{~\nu}^\gamma$ levert

$$\Gamma_{~\beta \mu}^\gamma = {1 \over 2} g^{\alpha \gamma} (g_{\alpha \beta , \mu} + g_{\alpha \mu, \beta} -g_{\beta \mu, \alpha}) .$$ (297)

Dit is de uitdrukking voor de christoffelsymbolen in termen van de partiële afgeleiden van de componenten van $g$. We geven weer een korte demonstratie voor poolcoördinaten.

Voorbeeld: christoffelsymbolen en metriek

In poolcoördinaten geldt bijvoorbeeld

$$\Gamma_{~r \theta}^\theta = {1 \over 2} g^{\alpha \theta} (g_{\alpha r , \theta} + g_{\alpha \theta, r} -g_{r \theta, \alpha}) .$$ (298)

Omdat $g^{r\theta} = 0$ en $g^{\theta \theta} = r^{-2}$ vinden we

$$\Gamma_{~r \theta}^\theta = {1 \over 2r^2} (g_{\theta r, \theta}... ... {1 \over 2r^2} g_{\theta \theta , r} = {1 \over 2r^2}(r^2)_{,r} = {1 \over r}.$$ (299)

Dit is hetzelfde resultaat voor $\Gamma_{~r \theta}^\theta$ dat we al eerder hebben afgeleid. Deze methode van berekenen is ook geldig in gekromde ruimten.