Pseudo-riemannse variëteit

Een differentieerbare variëteit is een primitieve amorfe verzameling van punten (puntgebeurtenissen voor het geval van ruimtetijd). Lokaal zijn de punten gerangschikt als punten in een euclidische ruimte, maar we hebben geen afstandsconcept gespecificeerd. Het is absoluut cruciaal dat we een metriek ${\bf g}$ toevoegen, die de informatie bevat over hoe snel klokken lopen en wat de afstanden zijn tussen punten.

Op het aardoppervlak zouden we een metriek bepalen door kleine vectoren $\overrightarrow{\Delta {\mathcal{P}}}$ op het aardoppervlak te tekenen. Vervolgens zeggen we dat de lengte van de vector gegeven wordt door het inproduct

$$\overrightarrow{\Delta {\mathcal{P}}} \cdot \overrightarrow{\Delt... ...{\mathcal{P}}}^2 =({\rm lengte~van~}\overrightarrow{\Delta {\mathcal{P}}})^2,$$ (301)

en gebruiken we een meetlat om dit te bepalen. We hebben nu een definitie van het inproduct van een vector voor een kleine vector met zichzelf. We gebruiken lineariteit om naar macroscopische vectoren te gaan. Vervolgens kunnen we een definitie krijgen voor het inproduct van twee verschillende vectoren door gebruik te maken van

$$\vec A \cdot \vec B = {1 \over 4}\left[(\vec A + \vec B)^2 -(\vec A - \vec B)^2 \right] .$$ (302)

Kortom, als je een afstandsconcept hebt (een meetlat op het oppervlak van de aarde), dan kun je een inproduct vinden, en hieruit volgt de metriek (want dat is niets anders dan ${\bf g}(\vec A, \vec B) \equiv \vec A \cdot \vec B) = {\bf g}(\vec B, \vec A)$. De metrische tensor is symmetrisch). Een differentieerbare variëteit met als extra structuur een metriek, noemen we een riemannse variëteit.

Figuur: Links: op elk punt $\mathcal{P}$ van het oppervlak van de aarde bevindt zich een raakruimte (in dit geval een raakvlak); rechts: het raakvlak is een goede afbeelding in de nabijheid van punt $\mathcal{P}$.

We willen nu een metriek toekennen aan ruimtetijd. Hiertoe introduceren we een lokaal lorentzframe (LLF). Dat doen we door op punt $\mathcal{P}$ in vrije val te gaan. Het equivalentieprincipe zegt dan dat de effecten van gravitatie verdwijnen en dat we lokaal de metriek van de speciale relativiteitstheorie vinden. Dat is de minkowskimetriek. We kunnen op elk punt $\mathcal{P}$ van de variëteit een coördinatenstelsel kiezen, waarin de minkowskimetriek geldt. Terwijl dit in de SRT ook een globaal coördinatenstelsel kan zijn, is dat enkel lokaal mogelijk in de algemene relativiteitstheorie. Hiermee hebben we op elk punt $\mathcal{P}$ een definitie van lengte gevonden: met $g_{\mu \nu} = \eta_{\mu \nu}~\rightarrow~ds^2 = \eta_{\mu \nu}dx^\mu dx^\nu$. In essentie bedrijven we nu SRT op punt $\mathcal{P}$ en hebben we een maat om lengten van staven en eigentijden van ideale klokken te bepalen. In een LLF wordt de metriek gegeven door $\eta_{\mu \nu} ={\rm diag}(-1, +1, +1, +1)$. Voor een riemannse variëteit dienen alle diagonale elementen positief te zijn. De signatuur (de som van de elementen op de diagonaal) van de metriek van ruimtetijd is $+2$, en we spreken van een pseudo-riemannse variëteit.

Stel we brengen een coördinatenstelsel op het aardoppervlak aan met longitude en lattitude. Als we naar het oppervlak van de aarde kijken, dan zien we dat hoe dichter je in de buurt van een punt $\mathcal{P}$ blijft, hoe cartesischer dit referentiesysteem er lokaal uit ziet. Afwijkingen van cartesische coördinaten treden op in tweede orde in de afstand $x$ tot het punt $\mathcal{P}$. Wiskundig betekent dit dat geldt

$$g_{jk} = \delta_{jk} + \mathcal{O} \left( {\vert \vec x \vert^2 \over R^2} \right),$$ (303)

met $R$ de straal van de aarde. Een eenvoudige manier om dit te zien is door het raakvlak op punt $\mathcal{P}$ te construeren. Fig. 46 toont dat als $\vec x$ de positievector is van een punt ten opzichte van $\mathcal{P}$, dan komt dat overeen met $\cos{\vert \vec x \vert}$ op het raakvlak. Een reeksontwikkeling levert $\cos{x} = 1- {x^2 \over 2}+ ...$. Dit heeft tot consequentie dat als men enkel naar eerste-orde afgeleiden kijkt, men geen enkele invloed van de kromming van de aarde ziet. Enkel als je tweede-orde afgeleiden neemt, begin je de kromming waar te nemen.

Hetzelfde geldt voor ruimtetijd. In een gekromde ruimtetijd kunnen we geen globaal lorentzframe vinden waarvoor $g_{\alpha \beta} = \eta_{\alpha \beta}$. Het is echter wel mogelijk om coördinaten te kiezen, zodat in de nabijheid van $\mathcal{P}$ deze gelijkheid bijna geldig is. Dat wordt mogelijk gemaakt door het equivalentieprincipe. Dit is de precieze definitie van een lokaal lorentzframe en voor een dergelijk coördinatenstelstel geldt

Het bestaan van lokale lorentzframes drukt uit dat elke gekromde ruimtetijd op elk punt een vlakke raakruimte heeft. Alle tensormanipulaties doe we uitvoeren spelen zich in deze raakruimte af. Bovenstaande uitdrukkingen vormen de wiskundige formulering van het feit dat het equivalentieprincipe ons toestaat om op punt ${\mathcal{P}}$ een LLF te kiezen.

De metriek maakt het mogelijk om de lengte van een kromme te definiëren. Als $d\vec x$ een kleine vectorverplaatsing op een curve is, dan is de gekwadrateerde lengte gelijk aan $ds^2=g_{\mu \nu}dx^\alpha dx^\beta$ (we noemen dit het lijnelement). Een maat voor de lengte wordt gevonden door hiervan de absolute waarde te nemen en dan de wortel te trekken. Dat geeft $dl \equiv \lvert g_{\alpha \beta} dx^\alpha dx^\beta \rvert^{1\over 2}$. Integratie geeft dan de totale lengte en we vinden

$$l = \int_{\rm langs~de~curve} \lvert g_{\alpha \beta} dx^\alpha d... ...{dx^\alpha \over d\lambda} {dx^\beta \over \lambda} \rvert^{1\over 2}d\lambda ,$$ (305)

waarbij $\lambda$ de parameter van de curve is. De curve heeft als eindpunten $\lambda_0$ en $\lambda_1$. De raakvector $\vec V$ van de curve heeft componenten $V^\alpha = dx^\alpha / d\lambda$ en hiermee vinden we

$$l = \int_{\lambda_0}^{\lambda_1} \lvert \vec V \cdot \vec V \rvert^{1 \over 2} d\lambda$$ (306)

voor de lengte van een willekeurige curve.

Ook het berekenen van volumes is belangrijk als we integraties uitvoeren in ruimtetijd. Met volume bedoelen we hier een vier-dimensionaal volume. Stel we bevinden ons in een LLF en hebben er een volume element $dx^0dx^1dx^2dx^3$, met coördinaten $\{ x^\alpha \}$ in de lokale lorentzmetriek $\eta_{\alpha \beta}$. Transformatietheorie zegt dan dat

$$dx^0 dx^1 dx^2 dx^3 = { \partial (x^0,x^1,x^2,x^3) \over \part... ...me}, x^{3^\prime}) } dx^{0^\prime} dx^{1^\prime} dx^{2^\prime} dx^{3^\prime},$$ (307)

waarbij de factor $\partial (~~) / \partial(~~)$ de jacobiaan van de transformatie van $\{ x^{\alpha^\prime} \}$ naar $\{ x^\alpha \}$ is. Dit hadden we reeds besproken in hoofdstuk 4.4 en er geldt

$${ \partial (x^0, x^1, x^2, x^3) \over \partial (x^{0^\prime}, ... ...end{array} \right) = {\rm det} \left( \Lambda_{~\beta^\prime}^\alpha \right) .$$ (308)

De berekening van deze determinant is nogal omslachtig en het kan eenvoudiger door te beseffen dat in termen van matrices de transformatie van de componenten van de metriek gegeven wordt door de vergelijking $(g)=(\Lambda )(\eta )(\Lambda )^T$, waarbij met `$T$' transponeren bedoeld wordt. Dan voldoen de determinanten aan ${\rm det}(g) = {\rm det}(\Lambda ){\rm det}(\eta ){\rm det}(\Lambda^T )$. Voor elke matrix geldt ${\rm det}(\Lambda ) = {\rm det}(\Lambda^T)$ en verder hebben we ${\rm det}(\eta ) = -1$. Hiermee vinden we dan ${\rm det}(g) = -\left[ {\rm det} (\Lambda )\right]^2$. We gebruiken de notatie

$$g \equiv {\rm det} (g_{\alpha^\prime \beta^\prime}) ~~~~\rightarrow~~~~ {\rm det}(\Lambda_{~\beta^\prime}^\alpha ) = (-g)^{1 \over 2}$$ (309)

en vinden

$$dx^0 dx^1 dx^2 dx^3 = {\rm det} \left[ -(g_{\alpha^\prime \beta... ...e} = (-g)^{1 \over 2} dx^{0^\prime} dx^{1^\prime} dx^{2^\prime} dx^{3^\prime}.$$ (310)

Het is belangrijk om goed de redenatie te begrijpen die we gevolgd hebben om tot bovenstaand resultaat te komen. We zijn gestart in een speciaal coördinatenstelsel, het LLF, en hierin geldt de minkowskimetriek. Vervolgens hebben we het resultaat gegeneraliseerd naar algemene coördinatenstelsels.