Tensoren en covariante afgeleide

Stel we hebben een tensorveld ${\bf T}(\_,\_,\_)$ met rang 3. Dit veld is een functie van lokatie en definieert een tensor op elk punt $\mathcal{P}$. We kunnen deze tensor expanderen in de basis $\{ \vec e_\alpha \}$ en dat geeft de (boven-) componenten $T^{\alpha \beta \gamma}$. In het algemeen hebben we 64 termen voor ruimtetijd. We kunnen de tensor ${\bf T}$ echter ook expanderen in de duale basis $\{ \vec e^{~\alpha} \}$ en er geldt

$${\bf T}(\_,\_,\_) \equiv T^{\alpha \beta \gamma}~\vec e_\alpha ... ...ta}^{~~\gamma}~\vec e^{~\alpha} \otimes \vec e^{~\beta} \otimes \vec e_\gamma .$$ (311)

Als je de waarden van de componenten wilt berekenen dan wordt het volgende theorema gebruikt,

$$T^{\alpha \beta \gamma} = {\bf T}(\vec e^{~\alpha} , \vec e^{~\be... ...T_{\mu \nu}^{~~\gamma} = {\bf T}(\vec e_\mu , \vec e_\nu , \vec e^{~\gamma} ) .$$ (312)

Als je de componenten van de tensor ${\bf T}$ in een of andere rangschikking van boven- en benedenindices hebt, en je wilt de componenten weten in een andere rangschikking van indices, dan wordt de metriek gebruikt. Er geldt

$$T_{\mu \nu}^{~~\gamma} = T^{\alpha \beta \gamma} g_{\alpha \mu} g... ...d ~ook}~~~~ T^{\alpha \beta \gamma} = g^{\alpha \rho} T_{\rho}^{~\beta \gamma}$$ (313)

Vervolgens willen we contractie bespreken. Dat is nogal ingewikkeld om te behandelen in onze abstracte notatie. Gegeven een tensor ${\bf R}$, kunnen we deze altijd schrijven in termen van een basis van vectoren als

$${\bf R}(\_,\_,\_,\_) = \vec A \otimes \vec B \otimes \vec C \otimes \vec D + ...$$ (314)

We bespreken contractie enkel voor een tensorproduct van vectoren en gebruiken lineariteit om een wiskundige beschrijving voor algemene tensoren te vinden. Voor contractie $\mathbb{C}_{13}$ van de eerste met de derde index geldt

$$\mathbb{C}_{13} \left[ \vec A \otimes \vec B \otimes \vec C \oti... ..._,\_,\_) \right] \equiv ( \vec A \cdot \vec C) \vec B \otimes \vec D (\_,\_) .$$ (315)

We kunnen bovenstaande abstracte definitie in termen van componenten schrijven en vinden

$$\vec A \cdot \vec C = A^\mu C^\nu \vec e_\mu \cdot \vec e_\nu = ... ...~ \mathbb{C}_{13} {\bf R} = R_{~~\mu}^{\mu \beta~\delta} \vec B \times \vec D.$$ (316)

Op dezelfde manier als hierboven, zien we dat we uit twee vectoren $\vec A$ en $\vec B$ een tensor $\vec A \times \vec B$ kunnen construeren door er het tensorproduct van te nemen, terwijl we een scalar $\vec A \cdot \vec B$ kunnen maken door het inproduct te nemen. De contractie van het tensorproduct $\vec A \otimes \vec B$ levert weer een scalar op, $\mathbb{C}\left[ \vec A \otimes \vec B \right] = \vec A \cdot \vec B$.

Vanaf nu gaan we een vergelijking als $R_{~~\mu}^{\mu \beta~\delta}$ vanuit een ander gezichtspunt bekijken. We hebben het steeds gezien als de componenten van een tensor. Vanaf nu is onze interpretatie dat de indices $\mu$, $\beta$, $\mu$ en $\delta$ labels zijn van de sleuven van de abstracte tensor ${\bf R}$. Dus met $R^{\alpha \beta \gamma \delta}$ bedoelen we de abstracte tensor ${\bf R}(\_,\_,\_,\_)$ met eerste sleuf $\alpha$, tweede sleuf $\beta$, enz.

Het bovenstaande rondt onze discussie over tensoralgebra af. In het volgende gaan we tensoranalyse bespreken. Dit doen we aan de hand van een tensorveld ${\bf T}(\_,\_)$ met rang 2, maar wat we concluderen is geldig voor elk tensorveld. Het veld ${\bf T}$ is een functie van lokatie in de variëteit, ${\bf T}(\mathcal{P})$. We differentiëren ${\bf T}$ nu langs de curve $\mathcal{P}(\lambda )$. Op punt $\mathcal{P}$ wordt de raakvector $\vec A$ aan de curve gegeven door $\vec A = {d\mathcal{P} \over d\lambda} = {d \over d\lambda}$. De afgeleide van ${\bf T}$ langs de curve (dus in de richting van vector $\vec A$) wordt gegeven door

$$\nabla_{\vec A} {\bf T} = \lim_{\Delta \lambda \rightarrow 0} {... ...da ))\right]^\parallel -{\bf T}(\mathcal{P}(\lambda )) \over \Delta \lambda }.$$ (317)

Merk op dat de twee tensoren, ${\bf T}(\mathcal{P}(\lambda + \Delta \lambda ))$ en ${\bf T}(\mathcal{P}(\lambda ))$, in twee verschillende raakruimten leven. Ze zijn bijna hetzelfde, omdat $\Delta \lambda$ klein is, maar desalniettemin zijn het verschillende raakruimten. We hebben een manier nodig om de tensor ${\bf T}(\mathcal{P}(\lambda + \Delta \lambda ))$ naar punt $\mathcal{P}$ te transporteren, waar we de afgeleide willen bepalen, zodat we de tensoren kunnen aftrekken. Wat we nodig hebben wordt parallel transporteren van ${\bf T}(\mathcal{P}(\lambda + \Delta \lambda ))$ genoemd.

In een gekromde variëteit zien we de effecten van kromming niet als we eerste-orde afgeleiden nemen⁶⁵. Het parallel transporteren betekent dan hetzelfde als wat het betekent in een vlakke ruimte: de componenten veranderen niet door het transporteren. We hebben dus met vergelijking (323) een uitdrukking voor de afgeleide gevonden. De orgininele tensor ${\bf T}(\_,\_)$ heeft twee sleuven, en dat is ook zo voor de afgeleide $\nabla_{\vec A} {\bf T} (\_,\_)$, want volgens vergelijking (323) is de afgeleide niets anders dan het verschil van twee tensoren ${\bf T}$ op verschillende punten, en dan gedeeld door de afstand $\Delta \lambda$.

Als volgende stap kunnen we nu het concept gradiënt invoeren. We merken op dat de afgeleide $\nabla_{\vec A} {\bf T} (\_,\_)$ lineair is in de vector $\vec A$. Dat betekent dat er een rang-3 tensor $\nabla{\bf T}(\_,\_,\vec A)$ bestaat, zodanig, dat geldt

$$\nabla_{\vec A}{\bf T}(\_,\_) \equiv \nabla{\bf T}(\_,\_,\vec A) .$$ (319)

Dit is de definitie van de gradiënt van ${\bf T}$. Het laatste slot wordt per conventie gebruikt als het differentiatieslot. De gradiënt van ${\bf T}$ is een lineaire functie van vectoren en heeft één sleuf meer dan ${\bf T}$ zelf, en heeft verder de eigenschap dat als je $\vec A$ in de laatste sleuf stopt, je de afgeleide van ${\bf T}$ krijgt in de richting van $\vec A$. We definiëren de componenten van de gradiënt als

$$\nabla {\bf T} \equiv T_{~~;\mu}^{\alpha \beta} ~\vec e_\alpha \otimes \vec e_\beta \otimes \vec e^\mu .$$ (320)

Het is een conventie om de differentiatie index beneden te plaatsen. Merk verder op dat je deze differentiatie index naar boven of beneden kunt halen net als elke andere index. Verder correspondeert alles dat na de puntkomma komt met een gradiënt. De componenten van de gradiënt zijn in dit geval $T_{~~;\mu}^{\alpha \beta}$.

Hoe berekenen we de componenten van een gradiënt? Het gereedschap hiervoor zijn de zogenaamde connectie coëfficiënten⁶⁶. Die coëfficiënten worden zo genoemd, omdat bij het nemen van de afgeleide we het tensorveld in twee verschillende raakruimten moeten vergelijken. De connectie coëfficiënten geven ons informatie over hoe de basisvectoren veranderen tussen beide naburige raakruimten. Omdat we een basis hebben in punt $\mathcal{P}$, kunnen we ons afvragen wat de afgeleide is van $\vec e_\alpha$ in de richting van $\vec e_\mu$. Er geldt

$$\nabla_{\vec e_\mu} \vec e_\alpha \equiv \Gamma_{~\alpha \mu}^\rho \vec e_\rho .$$ (321)

Deze afgeleide is zelf ook een vector en we kunnen deze dus expanderen in onze basis op punt $\mathcal{P}$ waar we de afgeleide willen weten. De expansiecoëfficiënten zijn $\Gamma_{~\alpha \mu}^\rho \vec e_\rho$. Evenzo geldt

$$\nabla_{\vec e_\mu} \vec e^\rho = -\Gamma_{~\sigma \mu}^\rho \vec e_\sigma .$$ (322)

Merk op dat we nu een minteken krijgen! De connectie coëfficiënten vertellen je hoe de basisvectoren van plaats tot plaats veranderen. Dus als je de componenten van een gradiënt wilt weten, bijvoorbeeld $T_{~~;\gamma}^{\alpha \beta}$, dan moet je correcties maken voor het feit dat de basisvectoren veranderen. De tensor ${\bf T}^{\alpha \beta}$ is zelf misschien constant en enkel de basisvectoren hangen van positie af. Het blijkt dat (zie ook vergelijking (285))

$$T_{~\beta ;\gamma}^\alpha = T_{~\beta , \gamma}^\alpha + \Gamma_... ...} T_{~ \beta}^\alpha = {\partial \over \partial x^\gamma} T_{~ \beta}^\alpha .$$ (323)

Als we de metriek ${\bf g}$ kennen, dan kunnen we de christoffelsymbolen uitrekenen, en daarmee alle covariante afgeleiden. Hiermee vinden we tenslotte weer de vergelijkingen