Geodeten en kromming

Als we sferische coördinaten aanbrengen op een bol, en we volgen twee lijnen, die loodrecht op de evenaar staan, in richting van de noordpool, dan zien we dat de initieel parallelle lijnen een snijpunt hebben op het gekromde oppervlak. Het vijfde postulaat van Euclides geldt dus niet in een gekromde ruimte: parallelle lijnen kunnen wel degelijk een snijpunt hebben.

Figuur: Parallel transporteren van een vector $\vec V$ rond een driehoekig traject PQRP uitgezet op een bol. Door $\vec V$ te transporteren over de lus $PQRP$ verkrijgt de eindvector een rotatie ten opzichte van de beginvector. De rotatiehoek is afhankelijk van de grootte van de lus, de gekozen weg, en de kromming van de variëteit.

Een andere illustratie van hoe kromming zich manifesteert, en die misschien nog doeltreffender is, wordt gegeven in Fig. 47. We beginnen in punt P met een raakvector die in de horizontale richting wijst. We nemen een kleine stap in de richting van Q en na elke step projecteren we de raakvector weer op het lokale raakvlak. Dit is onze manier van parallel transporteren. Nadat we het gesloten traject PQRP hebben volbracht, zien we dat de eindvector niet meer parallel is aan de initiële vector. Dit gebeurt niet in een vlakke ruimte is een effect van de kromming van de bol. De consequentie is dat we op een gekromde variëteit geen globale parallelle vectorvelden kunnen definiëren. Het resultaat van parallel transporteren hangt af van de gekozen weg en van de grootte van de lus.

Teneinde een wiskundige beschrijving te vinden, vatten we het interval PQ in Fig. 47 op als een curve, en stellen we dat $\lambda$ de parameter is van deze curve. Het vectorveld $\vec V$ is gedefinieerd op elk punt van de curve. De vector $\vec U = d\vec x/d\lambda$ is de raakvector aan de curve. In een lokaal coördinatensysteem op punt $\mathcal{P}$ moeten de componenten van $\vec V$ constant zijn langs de curve, er geldt

$${dV^\alpha \over d\lambda} = U^\beta V_{~,\beta}^\beta = U^\beta V_{~;\beta}^\alpha = 0~~~~{\rm op~punt~}\mathcal{P}.$$ (325)

De eerste gelijkheid is de definitie van de afgeleide van een functie (in dit geval $V^\alpha$) langs de curve, de tweede gelijkheid komt van het feit dat $\Gamma_{~\mu \nu}^\alpha =0$ op punt $\mathcal{P}$ in deze coördinaten. De derde gelijkheid is echter een frame-onafhankelijke uitdrukking en die is geldig in elke basis. We nemen dit als de coördinatenstelsel onafhankelijke definitie van het parallelle transport van $\vec V$ langs $\vec U$. Een vector $\vec V$ wordt dus parallel getransporteerd langs een curve met parameter $\lambda$ als geldt

$$U^\beta V_{~;\beta}^\alpha = 0 ~~\leftrightarrow~~ {d \over d\lambda} \vec V = \nabla_{\vec U} \vec V = 0 .$$ (326)

De laatste stap maakt gebruik van de notatie voor de richtingsafgeleide langs $\vec U$.

De belangrijkste curven in een gekromde ruimte zijn de geodeten. Geodeten zijn lijnen die (zo recht als mogelijk is) zijn getrokken, met als voorwaarde dat de raakvectoren $\vec U$ van deze lijnen parallel getransporteerd worden. Voor een geodeet geldt dus

$$\nabla_{\vec U} \vec U = 0 .$$ (327)

Merk op dat in een LLF deze lijnen inderdaad recht zijn. Voor de componenten geldt

$$U^\beta U_{~;\beta}^\alpha = U^\beta U_{~,\beta}^\alpha + \Gamma_{~\mu \beta}^\alpha U^\mu U^\beta = 0 .$$ (328)

Als $\lambda$ de parameter van de curve is, dan geldt $U^\alpha = dx^\alpha/d\lambda$ en $U^\beta {\partial / \partial x^\beta} = d/d\lambda$. Hiermee vinden we

$${d \over d\lambda}\left( {dx^\alpha \over d\lambda} \right) + \Gamma_{~\mu \beta}^\alpha {dx^\mu \over d\lambda} {dx^\beta \over d\lambda} = 0.$$ (329)

Omdat de christoffelsymbolen bekende functies van de coördinaten $\{ x^\alpha \}$ zijn, is dit een verzameling niet-lineaire tweede-orde differentiaalvergelijking voor $x^\alpha (\lambda )$. Deze heeft een unieke oplossing als de initiële condities voor $\lambda = \lambda_0$ worden gegeven: $x_0^\alpha = x^\alpha (\lambda_0 )$ en $U_0^\alpha = (dx^\alpha / d\lambda )_{\lambda_0}$. Dus door het geven van een beginpositie ( $x_0^\alpha$) en een beginsnelheid ( $U_0^\alpha$), verkrijgen we een unieke geodeet.

Door de parameter $\lambda$ te veranderen, veranderen we wiskundig de curve (maar niet het pad). Als $\lambda$ een parameter van de geodeet is, en we definiëren een nieuwe parameter $\phi = a\lambda + b$, met $a$ en $b$ constanten, die dus niet van de positie op de curve afhangen, dan geldt voor $\phi$ ook

$${d^2 x^\alpha \over d\phi^2} + \Gamma_{~\mu \beta}^\alpha {dx^\mu \over d\phi} {dx^\beta \over d\phi} = 0.$$ (330)

Enkel lineaire transformaties van $\lambda$ geven nieuwe parameters die voldoen aan de geodetenvergelijking. We noemen de parameter $\lambda$ en $\phi$ affine parameters. Tenslotte merken we op dat een geodeet ook een curve is met een extreme lengte (minimale lengte tussen twee punten). We kunnen de vergelijking voor een geodeet dus ook vinden met de Euler-Langrange vergelijkingen. Ook kunnen we aantonen dat de $ds$ langs de curve een affine parameter is.