Kromming en de riemanntensor

In Fig. 48 tonen we twee vectorenvelden $\vec A$ en $\vec B$. De vectoren zijn zo klein, dat de kromming van de variëteit geen rol speelt in het gebied waar dit diagram getekend is. We kunnen daarmee aannemen dat de vectoren op het oppervlak liggen in plaats van in de raakruimte. Teneinde de commutator $[\vec A, \vec B]$ uit te kunnen rekenen, gebruiken we een lokaal orthonormaal coördinatensysteem. Omdat we een vector kunnen opvatten als een richtingsafgeleide, stelt $A^\alpha \partial B^\beta / \partial x^\alpha$ de grootte voor waarmee de vector $\vec B$ verandert als die langs $\vec A$ verplaatst wordt (dat is de korte gestreepte lijn rechtsboven in Fig 48).

Figuur: De commutator $[\vec A, \vec B]$ van twee vectorvelden. We nemen aan dat de vectoren klein zijn, zodat de kromming het toelaat dat ze in de variëteit liggen.

Evenzo is $B^\alpha \partial A^\beta / \partial x^\alpha$ de verandering van $\vec A$ als die langs $\vec B$ verplaatst wordt (dat is die andere korte gestreepte lijn). Voor de componenten van de commutator in een coördinatenstelsel geldt

$$[ \vec A, \vec B ] = \left[ A^\alpha {\partial \over \partial x^\... ...l A^\beta \over \partial x^\alpha} \right) {\partial \over \partial x^\beta} .$$ (331)

Volgens bovenstaande vergelijking is de commutator $[\vec A, \vec B]$ het verschil van de twee gestreepte lijnen in Fig. 48. Het is het vijfde lijnsegment dat nodig is om de vierhoek te sluiten (dat is de geometrische betekenis van de commutator). Vergelijking (337) is een operatorvergelijking, waarbij de uiteindelijke afgeleide opereert op een scalairveld (net als in de quantummechanica). We vinden hiermee meteen de componenten van de commutator in een willekeurig coördinatenstelsel: $A^\alpha B_{~,\alpha}^\beta - B^\alpha A_{~,\alpha}^\beta$. De commutator is nuttig om onderscheid te kunnen maken tussen een coördinatenbasis en een niet-coördinatenbasis (ook wel niet-holonomische basis genoemd)⁶⁷.

In de discussie die leidde tot vergelijking (310), zagen we dat de effecten van kromming merkbaar worden als we tweede-orde afgeleiden (of gradiënten) nemen van de metriek. De krommingstensor van Riemann is een maat voor het falen van dubbele gradiënten om te sluiten. Neem een vectorveld $\vec A$ en neem er de dubbele gradiënten van. Dan vinden we

$$A_{\alpha ; \mu \nu} - A_{\alpha ; \nu \mu} =[ \nabla_\mu , \nabla_\nu ] A_\alpha \equiv R_{~\alpha \mu \nu}^\beta A_{\beta} .$$ (332)

Deze vergelijking kan gezien worden als de definitie van de riemanntensor. We kunnen deze vergelijking uitwerken door te beginnen met de definitie van de covariante afgeleide,

$$A_{\alpha ; \mu \nu} = {\partial \over \partial x^\nu} (A_{\alpha... ...n}~~ A_{\alpha ; \mu} = A_{\alpha , \mu} - \Gamma_{\alpha \mu}^\beta A_\beta .$$ (333)

We dienen nu een en ander te differentiëren, indices te manipuleren, etc. Uiteindelijk vinden we

$$A_{\alpha ; \mu \nu} - A_{\alpha ; \nu \mu} = \left( {\partial \... ...amma_{\gamma \nu}^\beta \right) V_\beta = R_{~\alpha \mu \nu}^\beta V_\beta .$$ (334)

De riemanntensor vertelt ons hoe een vectorveld verandert langs een gesloten pad. We kunnen vergelijking (324) gebruiken om de riemanntensor in een LLF te schrijven als

$$R_{~\beta \mu \nu}^\alpha = {1 \over 2} g^{\alpha \sigma} \left( ... ..., \beta \nu} + g_{\beta \mu , \sigma \nu} -g_{\beta \nu , \sigma \mu} \right).$$ (335)

We zien dat de metrische tensor ${\bf g}$ de informatie over de intrinsieke kromming bevat⁶⁸. Deze kromming wordt manifest als we tweede-orde afgeleiden van de metriek nemen. Met $R_{\alpha \beta \mu \nu} \equiv g_{\alpha \lambda} R_{~\beta \mu \nu}^\lambda$ en bovenstaande relatie, kunnen we een aantal belangrijke eigenschappen van de riemanntensor bewijzen. De riemanntensor is

• antisymmetrisch in de laatste twee indices. Er geldt

  $${\bf R}(\_,\_,\vec A,\vec B) = - {\bf R}(\_,\_,\vec B, \vec A) ~~~~{\rm of}~~~~R_{\mu \nu \alpha \beta} = -R_{\mu \nu \beta \alpha}.$$ (336)

  
  

• Antisymmetrisch in de eerste twee indices. Er geldt

  $${\bf R}(\vec A,\vec B,\_,\_) = - {\bf R}(\vec B, \vec A,\_,\_) ~~~~{\rm of}~~~~R_{\mu \nu \alpha \beta} = -R_{\nu \mu \alpha \beta}.$$ (337)

  
  

• De tensor is symmetrisch.

  $${\bf R}(\vec A,\vec B, \vec C, \vec D = {\bf R}(\vec C, \vec D, \... ..., \vec B) ~~~~{\rm of}~~~~R_{\mu \nu \alpha \beta} = R_{\alpha \beta \nu \mu}.$$ (338)

  
  

• Er gelden de zogenaamde Biancchi identiteiten,

  $$R_{\alpha \beta \gamma \delta ; \epsilon} + R_{\alpha \beta \delta \epsilon ; \gamma } + R_{\alpha \beta \epsilon \gamma ; \delta } = 0,$$ (339)

  
  
  waarbij we steeds de laatste drie indices permuteren.

Bovenstaande symmetriën reduceren de $4 \times 4 \times 4 \times 4 = 256$ componenten van de riemanntensor tot 20.

De krommingstensor van Ricci (riccitensor) is gedefinieerd als de contractie van riemanntensor. Er geldt

$$R_{\alpha \beta} \equiv R_{~\alpha \mu \beta}^\mu .$$ (340)

Bijvoorbeeld in het geval van het aardoppervlak bevat deze tensor ook de informatie over de kromming, maar dan als de riemanntensor geïntegreert over de hoeken. Verder kan men laten zien dat de riccitensor symmetrisch is. Tenslotte hebben we nog de scalaire kromming, de riccikromming, gedefinieerd door

$$R = R_{~\alpha}^\alpha .$$ (341)

We hebben nu de tensoren gedefinieerd, die we nodig hebben voor de beschrijving van fenomenen met de algemene relativiteitstheorie. Er is een formidabel wiskundig apparaat opgetuigd en we gaan dat nu eerst gebruiken om de veldvergelijkingen (de zogenaamde einsteinvergelijkingen) van de ART te poneren. We maken een en ander aannemelijk door een analogie met de newtoniaanse beschrijving.