De einsteinvergelijkingen

We komen nu tot de kern van de ART, de veldvergelijkingen. We zullen proberen de veldvergelijkingen plausibel te maken op een manier die al het voorgaande nog eens samenvat. We beginnen met een beschouwing in Fig. 51 (linker diagram) van de beweging van een deeltje langs een wereldlijn. De wereldlijn is geparametriseerd met de eigentijd $\tau$ op een klok die het deeltje met zich mee draagt. We kunnen de positie van het deeltje op een punt van de wereldlijn dus aangeven met $\mathcal{P}(\tau )$.

Figuur 51: Links: de wereldlijn van een deeltje is een curve die geparametriseerd kan worden met de eigentijd $\tau$ van het deeltje. De snelheid $\vec U$ is de raakvector aan de curve. Rechts: we brengen een coördinatenstelsel $\{ x^\alpha \}$ aan. De snelheid $\vec U$ heeft nu componenten $U^\alpha = dx^\alpha / d\tau$.

De snelheid $\vec U$ is de raakvector aan de curve en wordt gegeven door

$$\vec U = {d\mathcal{P} \over d\tau} = {d \over d\tau} .$$ (346)

Voor de snelheid geldt in het LLF op punt $\mathcal{P}$

$$\vec U^2 = {\overrightarrow{d\mathcal{P}} \cdot \overrightarrow{d\mathcal{P}} \over d\tau^2} = {-d\tau^2 \over d\tau^2} = -1 ,$$ (347)

waarbij we de definitie van de metriek hebben gebruikt⁷⁰. Omdat deze vergelijking een getal (scalar) oplevert, is dit geldig in elk coördinatenstelsel. We zien dus dat de snelheid lengte $1$ heeft en in de tijdrichting wijst. Merk op dat deze definities geen gebruik maken van een coördinatenstelsel. In het geval dat een coördinatenstelsel aangebracht wordt, geldt voor de componenten van de snelheid

$$U^\alpha = {dx^\alpha \over d\tau}.$$ (348)

De componenten zijn dus de afgeleiden van de coördinaten zelf.

Als het deeltje vrij beweegt en er geen andere krachten op werken dan die ten gevolge van de kromming van ruimtetijd, dan moet het in een rechte lijn bewegen. Hiermee bedoelen we zo recht als mogelijk is onder invloed van kromming. Het deeltje dient zijn eigen snelheid parallel te transporteren. Er geldt

$$\nabla_{\vec U} \vec U = 0 ,$$ (349)

en dat is, zoals we reeds in vergelijking (333) gezien hebben, de abstracte uitdrukking voor een geodeet. Wat dit betekent is dat wanneer je naar een lokaal lorentzframe gaat, de componenten van de viersnelheid constant blijven (en daarom is de richtingsafgeleide gelijk aan nul) als het deeltje slechts een kleine afstand aflegt. We willen nu bekijken hoe de geodetenvergelijking eruit komt te zien als we een willekeurig coördinatenstelsel aanbrengen. Dit is geschetst in het rechterpaneel van Fig. 51. In dit coördinatenstelsel worden de componenten van $\vec U$ gegeven door $U^\alpha = dx^\alpha / d\tau$, en kunnen we de geodetenvergelijking schrijven als

$$U_{~;\mu}^\alpha U^\mu = 0 ~~~~\rightarrow~~~~ \left( U_{~, \mu}^\alpha + \Gamma_{~\mu \nu}^\alpha U^\nu \right) U^\mu = 0 .$$ (350)

Merk op dat $U_{~;\mu}^\alpha$ de gradiënt is, waarvan we dan het inproduct nemen met de snelheid $U^\mu$ om de afgeleide van de snelheid in de richting van de snelheid te vinden. Deze afgeleide stellen we vervolgens gelijk aan nul. In de tweede stap maken we gebruik van de uitdrukking in componenten van de covariante afgeleide. We vermenigvuldigen nu de termen en vinden

$$\underbrace{ \underbrace{U_{~,\mu}^\alpha}_{\partial U^\alpha \o... ...d\tau^2} + \Gamma_{~\mu \nu}^\alpha {dx^\mu \over d\tau}{dx^\nu \over d\tau}.$$ (351)

Het is belangrijk in te zien dat we zijn uitgegaan van de abstracte tensorvergelijking (355) voor een geodeet. Na het aanbrengen van een willekeurig coördinatenstelsel hebben we deze vergelijking in componenten geschreven en het resultaat is vergelijking (357). Deze laatste geeft vier gewone tweede-orde differentiaalvergelijkingen voor de coördinaten $x^0(\tau )$, $x^1(\tau )$, $x^2(\tau )$ en $x^3(\tau )$. Deze vergelijkingen zijn gekoppeld via de connectiecoëfficiënten. Omdat het tweede-orde differentiaalvergelijkingen zijn, hebben we twee randvoorwaarden nodig, bijvoorbeeld op tijdstip $\tau = 0$ zowel $x^\alpha (\tau = 0 )$ als ${dx^\alpha \over d\tau} (\tau = 0) = U^\alpha (0)$. Daarna ligt de wereldlijn van het vrije deeltje (geodeet) vast.

Figuur: De wereldlijnen van twee deeltjes zijn initieel parallel. Door kromming van ruimtetijd bewegen de deeltjes naar elkaar toe. De afstand tussen de deeltjes wordt gegeven door de ruimtelijke vector $\vec \xi$.

We gaan nu weer naar de geodetische afstand tussen twee deeltjes $P$ en $Q$ kijken; zie Fig. 52. Dit vormt de aanloop tot de einsteinvergelijkingen. Stel dat we twee deeltjes hebben die op een bepaald tijdstip (dat we voor het gemak als $\tau = 0$ kiezen) in rust zijn ten opzichte van elkaar. We definiëren de separatievector $\vec \xi$, die van ene naar het andere deeltje wijst. Verder heeft deeltje $P$ een snelheid $\vec U$. De eis dat de deeltjes aanvankelijk in rust zijn ten opzichte van elkaar, komt neer op $\nabla_{\vec U} \vec \xi = 0$ op punt $\mathcal{P}$ op tijdstip $\tau = 0$. Verder willen we $\vec \xi$ zo definiëren, dat in het LLF van deeltje $P$ de vector $\vec \xi$ zuiver ruimtelijk is (dat is een keuze die we mogen maken). Hiermee is $\vec \xi$ loodrecht op de snelheid $\vec U$. Hij wijst dus in een richting die loodrecht op de tijdrichting staat. Er geldt dan $\vec U \cdot \vec \xi = 0$ op punt $\mathcal{P}$. Samengevat, eisen we op tijdstip $\tau = 0$

$$\left. \begin{array}{rcl} \nabla_{\vec U} \vec \xi & = & 0 \\ ... ... \\ \end{array} \right\} ~~~~{\rm op~punt~}\mathcal{P}~{\rm ~voor~}\tau=0 .$$ (352)

De tweede afgeleide $\nabla_{\vec U} \nabla_{\vec U} \vec \xi$ is echter niet gelijk aan nul, want we weten dat de effecten van kromming merkbaar worden als we tweede-orde afgeleiden van de metriek nemen. Dit betekent dat de geodeten van de deeltjes naar elkaar toe worden gedrukt of van elkaar verwijderd raken (algelang de metriek), naarmate de tijd vordert. Er geldt

$$\nabla_{\vec U} \nabla_{\vec U} \vec \xi = - {\bf R}(\_, \vec U, \vec \xi , \vec U ) ,$$ (353)

met ${\bf R}$ de krommingstensor. Deze vergelijking beschrijft hoe twee aanvankelijk parallelle geodeten in de loop der tijd van elkaar beginnen af te wijken ten gevolge van de kromming. De uitdrukking volgt uit vergelijkingen (330) en (338). De tweede afgeleide $\nabla_{\vec U} \nabla_{\vec U} \vec \xi$ beschrijft de relatieve versnelling van de deeltjes.

In het LLF van deeltje $P$ op tijdstip $\tau = 0$ geldt $U^0 = 1$ en $U^i = 0$. Hiermee verwachten we

$$(\nabla_{\vec U} \nabla_{\vec U} \vec \xi )^j = {\partial^2 \vec ... ... = -R_{\alpha \beta \gamma}^j U^\alpha \xi^\beta U^\gamma = -R_{0k0}^j \xi^k ,$$ (354)

want de snelheid $\vec U$ heeft enkel een tijdcomponent in het LLF van deeltje $\mathcal{P}$, terwijl de separatievector $\vec \xi$ enkel ruimteachtige componenten heeft $k=1,2,3$. In het LLF heeft de vergelijking voor geodetische afwijking de vorm

$${\partial^2 \xi^j \over \partial t^2} = -R_{0k0}^j \xi^k ,$$ (355)

terwijl we in de newtoniaanse mechanica gevonden hebben (zie vergelijking (349)) dat

$${\partial^2 \xi^j \over \partial t^2} = -\mathcal{E}_{jk} \xi^k .$$ (356)

In een LLF is het ruimtelijke deel van de metriek cartesisch ( $\delta_{ij} = {\rm diag}(1,1,1)$) en maakt de plaats van de indices niets uit. Vergelijken geeft dan

$$R_{j0k0} = \mathcal{E}_{jk} = {\partial^2 \Phi \over \partial x^j x^k}.$$ (357)

We kunnen een deel van de krommingstensor identificeren met afgeleiden van de newtoniaanse gravitatie potentiaal. Volgens Newton geldt

$$\nabla^2 \Phi = 4\pi G \rho~~~~\rightarrow~~~~ \Phi_{,~jk} \delta^{jk} = \mathcal{E}_{jk} \delta^{jk} = \mathcal{E}_{~j}^j,$$ (358)

en we vinden voor het spoor van de gravitationele getijdentensor $\mathcal{E}_{~j}^j = 4\pi G\rho$. Analoog zou je misschien verwachten dat in de algemene relativiteitstheorie zou gelden dat

$$R_{~0j0}^j = 4\pi G\rho ~~~~?$$ (359)

als een eerste gok.

Er is echter een fundamenteel probleem met vergelijking (365). Het dient een uitdrukking te zijn, die niet van het coördinatenstelsel afhangt. Wat we echter gedaan hebben, is het opstellen van de vergelijking in een speciaal stelsel: het LLF. Wat we derhalve dienen te doen, is proberen een relatie tussen tensoren te vinden. Hiertoe merken we op dat in het LLF geldt dat $R_{0000} = 0$ en $R_{~000}^0 = 0$ ten gevolge van antisymmetrie. Er geldt dus $R_{~0j0}^j = 4\pi G\rho \rightarrow R_{~0\mu 0}^\mu = 4\pi G\rho$. We bevinden ons nog steeds in het LLF (overigens geldt hier $R_{00} = 4\pi G\rho$ met $R_{00}$ de Ricci tensor, maar dat terzijde).

Er is nog een probleem met vergelijking (365): links van het gelijkteken hebben we twee indices en rechts ervan geen enkele. Je zou dus misschien kunnen denken dat geldt

$$R_{\alpha \beta} = 4\pi GT_{\alpha \beta}~~~~?$$ (360)

Hierbij is $T_{\alpha \beta}$ de energie-impuls tensor, waarvan $T_{00} = \rho$ (en dat is overigens vaak de dominerende term in het LLF). Einstein maakte deze gok al in 1912, maar hij is fout! Deze vergelijkingen hebben ingebouwde inconsistenties. Het is belangrijk om te begrijpen wat er mis is, en dat komt neer op het volgende. Beschouw de riemanntensor

$$R_{~\alpha \beta \gamma}^{\delta} \approx g_{\alpha \beta , \gamma \delta} + {\rm niet~lineaire~termen} .$$ (361)

Als we de eerste en derde index contraheren, krijgen we

$$R_{\alpha \beta} \approx g_{\gamma \alpha , \gamma \delta} + {\rm niet~lineaire~termen} .$$ (362)

We zien hiermee dat de voorgestelde vergelijkingen (366) een verzameling vormen van 10 partiële differentiaalvergelijkingen voor de 10 componenten van de metriek $g_{\alpha \beta}$ (merk op dat de metriek symmetrisch is in $\alpha$ en $\beta$). Ook de Ricci tensor is symmetrisch. Dat lijkt allemaal prima, maar we hebben de vrijheid om zelf het coördinatenstelsel te kiezen waarin we de vergelijkingen gaan opschrijven. We hebben de vrijheid om $x^0(\mathcal{P})$, , $x^2(\mathcal{P})$ en $x^3(\mathcal{P})$ te kiezen. We kunnen dat gebruiken om 4 van de 10 componenten van $g_{\alpha \beta}$, zoals gezien als functie van de coördinaten, gelijk te zetten aan wat we willen, bijvoorbeeld $g_{00} = -1$, $g_{01} = g_{02} = g_{03} = 0$. Echter, onze vergelijkingen (366) staan dit niet toe: 10 partiële differentiaalvergelijkingen voor 10 onbekenden. Wat we nodig hebben, zijn 6 vergelijkingen voor 10 onbekenden.

Voordat we onze speurtocht naar de einsteinvergelijkingen voortzetten, maken we eerst twee opmerkingen. De eerste opmerking heeft te maken met de Biancchi indentiteiten. Dankzij deze indentiteiten $R_{\alpha \beta \gamma \delta ;\epsilon} + ... = 0$ blijkt dat als we de einsteintensor definiëren,

$$G_{\alpha \beta} \equiv R_{\alpha \beta} - {1 \over 2} R g_{\alpha \beta},$$ (363)

met $R_{\alpha \beta}$ de riccitensor en $R$ de scalaire kromming, dan zorgen de Biancchi indentiteiten ervoor dat de divergentie van de einsteintensor gelijk is aan nul,

$$G_{~~;\beta}^{\alpha \beta} = 0 .$$ (364)

De tweede opmerking heeft te maken met de ons bekende behoudswetten voor energie en impuls. In een LLF geldt

$$T_{~~,\beta}^{\alpha \beta} = 0 \left\{ \begin{array}{rcl} {\pa... ...al t} + {\partial T^{jk} \over \partial x^k} & = & 0. \\ \end{array} \right.$$ (365)

Merk op dat ${\partial T^{0j} \over \partial x^j}$ de ruimtelijke divergentie is en energiebehoud zegt $\partial \rho / \partial t + {\rm div} \vec J = 0$, met $\vec J$ de massa-energieflux. Evenzo is ${\partial T^{j0} \over \partial t}$ de impulsdichtheid en ${\partial T^{jk} \over \partial x^k}$ de impulsflux. Omdat we enkel de eerste afgeleide nemen, is wat geldt in een vlakke ruimte in het LLF, ook geldig voor gekromde ruimtetijd. Hiermee vinden we de tensorvergelijking

$$T_{~~; \beta}^{\alpha \beta} = 0 .$$ (366)

Het lijkt redelijk om aan te nemen dat de natuur gekozen heeft voor

$$G^{\alpha \beta} = {8 \pi G \over c^4} T^{\alpha \beta} .$$ (367)

Dit zijn de einsteinvergelijkingen. De evenredigheidsfactor ( $8\pi G/c^4$) vinden we door de newtoniaanse limiet te nemen. Voordat je de einsteinvergelijkingen oplegt, weet je al dat

$$G_{~~;\beta}^{\alpha \beta} = 0 = {8\pi G \over c^4} T_{~~;\beta}^{\alpha \beta} .$$ (368)

Dit zijn 4 vergelijkingen en het zijn de afgeleiden van de einsteinvergelijkingen. Aan deze 4 identiteiten (de divergentie van $G^{\alpha \beta}$ en $T^{\alpha \beta}$ zijn nul) wordt al voldaan. Dit legt 4 beperkingen op aan de einsteinvergelijkingen (ook wel de veldvergelijkingen genoemd) en de veldvergelijkingen geven slechts 6 nieuwe stukken informatie. Dat is precies wat we nodig hebben.