Zwakke gravitatievelden en de newtoniaanse limiet

Het is duidelijk dat de ART beschrijving van gravitatie in termen van kromming van ruimtetijd reduceert tot de SRT voor lokale lorentzframes. Het is echter belangrijk om expliciet te controleren dat de beschrijving reduceert tot de newtoniaanse beschrijving als we de correcte randvoorwaarden bezien.

Zonder gravitatie heeft ruimtetijd de minkowskimetriek. Derhalve zullen zwakke gravitatievelden overeenkomen met een geringe kromming van ruimtetijd. We nemen aan dat er coördinaten bestaan, waarin de metriek de volgende vorm heeft,

$$g_{\mu \nu} = \eta_{\mu \nu} + h_{\mu \nu}~~~~{\rm met}~\vert h_{\mu \nu}\vert \ll 1.$$ (369)

Verder nemen we aan dat in dat coördinatenstelsel de metriek stationair is, waardoor geldt $\partial_0 g_{\mu \nu} = 0$. De wereldlijn van een vrijvallend deeltje wordt gegeven door de geodetische vergelijking

$${d^2 x^\mu \over d\tau^2} + \Gamma_{~\nu \sigma}^\mu {dx^\nu \over d\tau} {dx^\sigma \over d\tau} = 0.$$ (370)

We nemen aan dat het deeltje langzaam beweegt (niet-relativistisch), zodat voor de componenten van de driesnelheid geldt $dx^i / dt \ll c~(i=1,2,3)$, met $t$ gedefinieerd via $x^0 = ct$. Hiermee eisen we voor $i=1,2,3$

$${dx^i \over d\tau} \ll {dx^0 \over d\tau}.$$ (371)

We mogen de driesnelheid verwaarlozen en vinden

$${d^2 x^\mu \over d\tau^2} + \Gamma_{~00}^\mu c^2 \left( {dt \over d\tau} \right)^2 .$$ (372)

We gebruiken vergelijking (303) en vinden

$$\Gamma_{~00}^\mu = {1 \over 2} g^{\kappa \mu} (\partial_0 g_{0\ka... ...partial_\kappa g_{00} =-{1 \over 2} \eta^{\kappa \mu} \partial_\kappa h_{00} ,$$ (373)

waarbij we vergelijking (375) hebben gebruikt. De laatste gelijkheid is geldig tot op eerste orde in $h_{\mu \nu}$. Omdat we hebben aangenomen dat de metriek stationair is geldt

$$\Gamma_{~00}^0 = 0~~~~{\rm en}~~~~\Gamma_{~00}^i = {1\over 2} \delta^{ij} \partial_j h_{00}~~{\rm met}~i = 1,2,3.$$ (374)

Invullen in vergelijking (378) levert

$${d^2t \over d\tau^2} = 0~~~~{\rm en}~~~~ {d^2 \vec x \over d\tau^2} = -{1 \over 2}c^2 \left( {dt \over d\tau} \right)^2 \nabla h_{00} .$$ (375)

De eerste vergelijking stelt dat $dt / d\tau = {\rm constant}$, en hiermee kunnen we de twee uitdrukkingen combineren. Dat geeft de volgende bewegingsvergelijking voor het deeltje,

$${d^2 \vec x \over dt^2} = - {1 \over 2} c^2 \nabla h_{00} .$$ (376)

Als we deze uitdrukking vergelijken met de newtoniaanse uitdrukking voor de beweging van een deeltje in een gravitatieveld, formule (15), dan zien we dat beide identiek zijn, als we de identificatie maken dat $h_{00} = 2\Phi / c^2$. We vinden dat voor een langzaam bewegend deeltje de ART overgaat in de newtoniaanse beschrijving, als we de metriek gegeven wordt door

$$g_{00} = 1 + h_{00} = \left( 1 + {2\Phi \over c^2} \right).$$ (377)

We kunnen een schatting maken van deze correctie op de minkowskimetriek, want ${\Phi \over c^2} = -{GM \over c^2 r}$ en we vinden $-10^{-9}$ aan het aardoppervlak, $-10^{-6}$ aan het oppervlak van de zon, en $-10^{-4}$ aan het oppervlak van een witte dwerg. We zien dat de zwakke-veld limiet een uitstekende benadering is.

Vergelijking (383) toont dat ruimtetijdkromming ervoor zorgt dat de tijdcoördinaat $t$ in het algemeen niet de eigentijd meet. Hiertoe nemen we een klok die in rust is op een bepaald punt in ons coördinatensysteem (dan geldt $dx^i / dt = 0$). Het eigentijd interval $d\tau$ tussen twee tikken van deze klok wordt gegeven door $c^2d\tau^2 = g_{\mu \nu} dx^\mu dx^\nu = g_{00} c^2 dt^2$, waarmee we vinden

$$d\tau = \left( 1 + {2\Phi \over c^2} \right)^{1 \over 2} dt.$$ (378)

Dit geeft het interval in eigentijd $d\tau$ dat correspondeert met een interval $dt$ in coördinatentijd voor een stationaire waarnemer in de buurt van een massief object, in een gebied met gravitatie potentiaal $\Phi$, Omdat $\Phi$ negatief is, is dit eigentijd interval korter dan het corresponderende interval voor een stationaire waarnemer op grote afstand van het object, waar $\Phi \rightarrow 0$ en dus $d\tau = dt$. Merk op dat we dit reeds hebben afgeleid uit het equivalentieprincipe; zie vergelijking (9) met $\Phi = gh$.

Figuur 53: Banen van een bal en een kogel door de ruimte. Gezien vanuit een laboratorium hebben de banen een verschillende kromming.

Het ruimtetijdinterval wordt gegeven door

$$ds^2 = -\left( 1 + {2\Phi \over c^2} \right)(cdt)^2 + dx^2 + dy^2 +dz^2 .$$ (379)

Deze vergelijking beschrijft een geometrie van ruimtetijd waarin deeltjes op geodeten bewegen die precies dezelfde banen volgen als die van deeltjes in een vlakke ruimtetijd waarin de newtoniaanse gravitatiekracht actief is. We hebben hiermee in gekromde ruimtetijd beeld gevonden voor Newton's gravitatie. De kromming is enkel in de tijdrichting. Kromming in de tijd is niets anders dan de gravitationele roodverschuiving: tijd schrijdt voort met verschillende snelheid op verschillende plaatsen, derhalve is tijd gekromd. Deze gravitationele roodverschuiving bepaalt volledig de banen van deeltjes in een gravitatieveld. De gehele newtoniaanse gravitatie is enkel tijdkromming.

Wellicht gaat het bovenstaande tegen ons gevoel in. Immers niets lijkt zo vanzelfsprekend als het idee dat gravitatie een manifestatie is van kromming van de ruimte. Kijk bijvoorbeeld naar de banen van twee objecten in de ruimte, zoals getoond in Fig. 53. Een van de objecten is een bal die met een relatief lage snelheid van 5 m/s beweegt en een hoogte bereikt van 5 m. Het andere object is de kogel uit een geweer. Deze kogel beweegt met hoge snelheid (500 m/s). Als we de figuur bekijken, dan lijkt de baan van de bal sterker gekromd dan die van de kogel.

Het punt is echter dat we niet naar een kromming van de ruimte dienen te kijken, maar naar de kromming van ruimtetijd. Hiertoe tekenen we de banen nogmaals in Fig. 54, maar nu in minkowski ruimtetijd. We zien dat nu de banen van de ballen een gelijke kromming hebben in ruimtetijd.

Figuur 54: Banen van een bal en een kogel door ruimtetijd. Gezien vanuit een laboratorium hebben de banen dezelfde kromming. We vergelijken de baanlengte ten opzichte van de booglengte van de cirkel: (straal) = (horizontale afstand)$^2$ / 8(hoogte).

In werkelijkheid heeft echter geen van de banen een kromming! Ze zien er gekromd uit omdat we vergeten zijn dat de ruimtetijd waarin ze getekend zijn, zelf gekromd is. De kromming van ruimtetijd is precies zodanig, dat de banen zelf volledig recht zijn: het zijn immers geodeten.