Het minkowskilijnelement

Nu de twee postulaten van de SRT zijn gemotiveerd, kunnen we deze gaan gebruiken om de relatie tussen tijd en ruimte te onderzoeken, en de wetten van beweging af te leiden. Startpunt is het lijnelement

$$ds^2 = g_{\mu \nu} dx^\mu dx^\nu.$$ (161)

De metriek speelt zoals altijd de hoofdrol. In het geval van de SRT (en wanneer geschreven in cartesische coördinaten) wordt de metriek gegeven door

$$\eta_{\mu \nu} = \left( \begin{array}{cccc} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) .$$ (162)

Deze metriek draagt de naam minkowskimetriek, en wordt conventioneel aangeduid door de griekse letter $\eta$, oftewel $g_{\mu \nu} = \eta_{\mu \nu}$. De inverse van de minkowskimetriek is eenvoudig te vinden, en blijkt precies dezelfde vorm te hebben als de metriek zelf,

$$\eta^{\mu \nu} = \left( \begin{array}{cccc} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) .$$ (163)

Als we het lijnelement uitschrijven vinden we:

$$ds^2 = -c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2.$$ (164)

Dit kunnen we meteen gebruiken om een fysische interpretatie toe te kennen aan het lijnelement. Ten eerste kan worden opgemerkt dat de laatste drie termen precies de stelling van Pythagoras vormen⁴⁹. Dit betekent dat als een waarnemer de afstand tussen twee punten in ruimtetijd meet, en dat op hetzelfde tijdstip doet, voor deze waarnemer geldt dat $ds^2$ niets anders is dan de afstand tussen deze twee punten. Verder kan worden opgemerkt dat als een waarnemer het tijdsverschil meet tussen twee gebeurtenissen en dat doet zonder ondertussen van positie te veranderen ten opzichte van de gebeurtenissen (dit wil zeggen: deze waarnemer is in rust ten opzichte van de gebeurtenissen!), de laatste drie termen van het lijnelement gelijk zijn aan nul; voor deze waarnemer geldt dus dat het lijnelement de interpretatie heeft van minus de verstreken tijd tussen twee gebeurtenissen. Het lijnelement is een maat voor de tijd verstreken tussen twee gebeurtenissen voor een waarnemer die in rust is ten opzichte van deze gebeurtenis.