Historische introductie en Einstein's postulaten

De relativiteitstheorie is geboren in het prille begin van de twintigste eeuw. De negentiende eeuw was net ten eind gekomen, en de natuurkunde bevond zich in een unieke positie: voor het eerst in de geschiedenis leken alle fundamentele vraagstukken opgelost te zijn. Al in de 17e eeuw had Sir Isaac Newton (1643-1727) een theoretisch model opgesteld waarmee beweging en krachten in detail konden worden berekend en voorspeld, samengevat in drie wetten die nu zijn naam dragen. Tezamen met Newton's universele wet van de zwaartekracht konden deze drie wetten zelfs de banen van de planeten om de zon perfect⁴⁵ beschrijven. Ook konden deze wetten, wanneer toegepast op de aanname dat materie bestaat uit vele miniscule deeltjes in constante botsing, de wetten van de warmteleer reproduceren; hiermee was het vakgebied van de thermodynamica vrijwel geheel⁴⁶ verklaard, wat een triomf is van de newtoniaanse bewegingsleer.

Verder was er nog de theorie van de elektrische en magnetische velden, onderzocht door Faraday, Oersted, Coulomb en Savart, en uiteindelijk halverwege de 19e eeuw tot een wiskundig geheel samengesmeed door James Clerk Maxwell (1831-1879); de vier wetten van deze theorie dragen nu zijn naam. Ook deze theorie, de elektrodynamica geheten, was uitermate succesvol. Het beschrijft, onder andere, de interactie tussen elektriciteit en magnetisme en laat zien dat zij eigenlijk een aspect zijn van een en dezelfde kracht. Ook laten de wetten van Maxwell zien dat elektrische en magnetische velden verstoord kunnen worden, en dat deze verstoring zich voortplant met een snelheid van 299.800 kilometer per seconde, een waarde nu universeel aangegeven door de letter $c$.⁴⁷ Dit is precies de snelheid waarvan men al lang eerder gemeten had dat het licht zich ermee voortplant, en de conclusie werd dan ook al snel getrokken dat licht niks anders is dan een verstoring in het elektromagnetische veld. Al snel konden alle regels uit de lenzen- en spiegelleer afgeleid worden uit de elektrodynamica, en hiermee werd het gehele vakgebied van de optica een solide fundament gegeven.

Het was dan ook geen wonder dat de natuurkundigen aan het eind van de negentiende eeuw in een euforische staat verkeerden. Er waren weliswaar nog bepaalde berekeningen in detail uit te voeren, maar niets leek erop te wijzen dat er meer zou bestaan dan de elektromagnetische kracht en de zwaartekracht, en dat alle relaties tussen krachten en bewegingen beschreven konden worden door de leer van Newton. Alle andere krachten en verschijnselen (licht, warmte, ..) waren al aangetoond een direct gevolg te zijn van de wetten van Newton of de wetten van Maxwell (of een combinatie van beide), en er waren simpelweg weinig aanwijzingen om te vermoeden dat de natuur zich aan meer wetten hield dan deze.

Er waren in het begin van de twintigste eeuw dan ook maar weinig natuurkundigen die zich realiseerden dat er wel degelijk een fundamenteel probleem verscholen zat in deze twee grote theorieën. Het probleem zat hem niet in de theorieën afzonderlijk, maar in hun combinatie. De wetten van Maxwell laten zien, zoals we besproken hebben, dat er golven bestaan die zich voortplanten door de ruimte en dat zij dit doen met precies de snelheid van het licht. De elektrodynamica zegt bovendien dat deze snelheid dezelfde is voor alle waarnemers, ook als deze zich ten opzichte van elkaar met constante snelheid bewegen. Dat is op zichzelf wel wonderlijk, maar hoeft nog geen probleem te zijn (zolang het maar niet door experiment tegengesproken wordt). Het probleem openbaart zich pas wanneer nu tegelijkertijd de wetten van Newton worden beschouwd: deze zeggen namelijk dat alle snelheden (ook die van het licht) wel degelijk behoren te verschillen tussen waarnemers die zelf een snelheid hebben ten opzichte van elkaar: dit zit onmiskenbaar ingebouwd in de wetten van Newton. Het was dan ook duidelijk dat de wetten van Newton en de wetten van Maxwell elkaar op enkele punten tegenspreken, en dat een van deze sets aangepast zou moeten worden. Het bleken de wetten van Newton te zijn. Het is deze noodzaak tot aanpassing die de jonge Albert Einstein in 1905 leidde tot de theorie die wij nu de speciale relativiteitstheorie (SRT) noemen.

Als startpunt van de SRT nam Einstein twee postulaten, twee principes waar geen bewijs van bekend is, maar waarvan hij vermoedde dat de natuur die altijd in acht nam. Beide zijn gebaseerd op vermoedens gevoedt door de elektrodynamica, en beide zullen nu in zeker detail besproken worden.

De wetten van Maxwell laten zien dat een elektromagnetische verstoring zich voortplant met de snelheid van het licht ongeacht met welke snelheid een waarnemer zelf beweegt. Dit is een wonderlijk resultaat: als waarnemer $A$ een foton voorbij ziet vliegen met de snelheid van het licht, $c$, en een waarnemer $B$ beweegt zich met een zekere snelheid $v$ ten opzichte van $A$ in dezelfde richting als het foton, dan zegt het `gezond verstand' dat waarnemer $B$ het foton met een snelheid $c-v$ ziet bewegen. De wetten van Maxwell zeggen echter dat ook waarnemer $B$ het foton met $c$ ziet bewegen, en dat hetzelfde geldt voor alle waarnemers $C, ~D,...$ die zich met een constante snelheid bewegen ten opzichte van waarnemer A. Nogmaals: de verklaring voor dit gegeven is niet bekend, maar Einstein nam het als een gegeven, een feit van de natuur. Hij breidde het zelfs uit: waar de elektrodynamica suggereert dat dit een eigenschap is van louter en alleen het licht, nam Einstein aan dat alles wat zich met deze snelheid beweegt aan deze eigenschap voldoet. Dit vormt dan het eerste postulaat van de SRT:

Postulaat 1: de lichtsnelheid heeft dezelfde waarde voor alle waarnemers die zich ten opzichte van elkaar bewegen met een constante snelheid.

Dit gegeven staat bekend als het principe van de invariantie van de lichtsnelheid. De fysische (en zelfs filosofische!) implicaties van dit postulaat zijn enorm, omdat het direct tot gevolg heeft dat de duur van tijd en de grootte van afstanden niet hetzelfde kunnen zijn voor al deze waarnemers.

Het tweede postulaat komt voort uit een andere eigenschap van de elektrodynamica. Zoals verteld gaat de elektrodynamica over de relatie tussen elektrische velden en magnetische velden, waar een elektrisch veld een maat is voor de invloed van een stilstaand geladen deeltje op alle andere geladen deeltjes in zijn omgeving; een magnetisch veld is een maat voor de invloed van een bewegend geladen deeltje op alle andere geladen deeltjes in zijn omgeving. Op het eerste gezicht lijken deze definities in elkaar over te gaan. Immers, een stilstaand deeltje kan ook gezien worden als een bewegend deeltje wanneer de waarnemer van een stilstaand geladen deeltje besluit met constante snelheid te gaan bewegen; dientengevolge zal het elektrisch veld van het deeltje gedeeltelijk overgaan in een magnetisch veld. In zoverre lijkt het verschil tussen de twee velden slechts een keuze. Echter, er is een heel fysisch verschil tussen de twee velden, en dat is dat een ervan voldoet aan twee van de vier wetten van Maxwell, waar het andere veld voldoet aan de twee andere wetten van Maxwell, met fysisch heel verschillende eigenschappen. Bovendien is het gevolg van een elektrisch veld op een tweede geladen deeltje een kracht die parallel is aan het elektrische veld, waar het gevolg van een magnetisch veld een kracht is die loodrecht staat op het magnetische veld. Als het verschil tussen elektrische en magnetische velden slechts een keuze is van de snelheid van de waarnemer, hoe kan het dan zijn dat een fysisch meetbaar verschijnsel als kracht op een geladen deeltje zo verschillend is? Blijkbaar is er wel degelijk een heel fundamenteel verschil tussen elektrische en magnetische velden.

Ondanks dit schijnbare verschil, is er de volgende wonderlijke eigenschap van de elektrodynamica: als twee waarnemers, die relatief ten opzichte van elkaar bewegen met constante snelheid, de wetten van Maxwell toepassen op een en hetzelfde systeem van geladen deeltjes, dan zullen zij tot dezelfde fysische resultaten komen, ongeacht alle schijnbaar fundamentele verschillen tussen elektrische en magnetische velden. De waarnemers verschillen dan wel van mening over welke richting de krachten op wijzen, of de deeltjes al dan niet bewegen, en elektrische velden voor de ene waarnemer zijn magnetische voor de ander, maar het totaal van al deze effecten geeft uiteindelijk precies dezelfde fysische voorspellingen. Hiermee wordt bedoeld dat als de twee waarnemers hun voorspellingen corrigeren voor het feit dat zij met onderlinge snelheid bewegen ten opzichte van elkaar, deze altijd precies overeenkomen: de wetten van Maxwell kunnen dus worden toegepast door beide waarnemers zonder op onderlinge tegenstrijdigheden te stuiten. Blijkbaar maakt de natuur, in ieder geval wat elektromagnetische velden betreft, geen onderscheid tussen waarnemers met onderlinge verschillende constante snelheden. Einstein nam dit aan als een gegeven, en nam aan dat dit geldt voor alle natuurkundige verschijnselen (niet alleen de elektromagnetische). Dit vormt het tweede postulaat van de SRT:

Postulaat 2: de natuur maakt geen onderscheid tussen waarnemers die zich ten opzichte van elkaar bewegen met constante snelheid.

Praktisch betekent dit postulaat dat het onmogelijk is om via experimenten te bepalen of een waarnemer in absolute beweging is ten opzichte van een fysisch systeem of niet: het verschil tussen verschillende waarnemers is fundamenteel niet meetbaar. Hierdoor is elke waarnemer even `correct' als elke andere waarnemer die zich met constante snelheid beweegt ten opzichte van de eerste. In het bijzonder betekent dit dat er geen waarnemersstelsel is ten opzichte waarvan fysische grootheden gemeten moeten worden: elk ander stelsel voldoet namelijk even goed. De gemeten waarden van de grootheden verschillen in het algemeen⁴⁸ per waarnemer, maar de wetten waaraan deze grootheden voldoen dienen allemaal precies hetzelfde te zijn. Daarom moet bij elke meting van een grootheid aangegeven worden ten opzichte van welke waarnemer het gemeten is. Dit wil zeggen: uitkomsten van metingen hebben nooit absolute betekenis, maar slechts louter relatief. Dit postulaat staat daarom bekend als het relativiteitsprincipe. Dit levert een wiskundig voorschrift: teneinde een theorie te formuleren die voldoet aan het relativiteitsprincipe, moeten de wiskundige wetten van deze theorie geschreven worden in een vorm die geen onderscheid maakt tussen waarnemers met verschillende constante snelheden. Dit zullen we dan ook expliciet doen in het vervolg.