Tijddilatatie

We zullen nu de eerste paar directe gevolgen van het minkowskilijnelement beschouwen. Zoals al eerder aangestipt, suggereert het eerste postulaat dat verschillende waarnemers van mening zullen verschillen over de afstand en het tijdverschil tussen twee gebeurtenissen. Allereerst zal het effect van tijddilatatie worden beschouwd. Startpunt is het lijnelement

$$c^2d\tau^2 = c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2.$$ (165)

Hierin is $d\tau$ op te vatten als de tijd die verstrijkt op de klok van een waarnemer (W1) voor wie de twee gebeurtenissen plaatsvinden op dezelfde positie, en is $dt$ de tijd die verstrijkt tussen die gebeurtenissen zoals gemeten door een andere waarnemer (W2). Wanneer nu de rechterkant van deze vergelijking gedeeld wordt door $c^2dt^2$, kan de relatie tussen verstreken tijd van de eerste waarnemer ($d\tau$) en die van de tweede waarnemer (W2) ($dt$) geschreven worden als

$$d\tau = \pm \sqrt{1-\left(\frac{v}{c} \right)^2} dt.$$ (166)

Het plusmin-teken van deze uitdrukking is het wiskundige gevolg van het nemen van een wortel; fysisch zijn we echter alleen geïnteresseerd in het plusteken, aangezien een minteken zou impliceren dat de twee waarnemers tegengesteld lopende tijden ervaren. We zullen daarom vanaf nu altijd het plusteken gebruiken. Verder is geschreven $v \equiv \frac{dx}{dt}$, oftewel het is de afstand tussen de twee gebeurtenissen zoals gemeten door de tweede waarnemer, gedeeld door de tijdsduur zoals gezien door de tweede waarnemer (W2). Dit is de snelheid $v$ waarmee deze waarnemer zich beweegt ten opzichte van de twee gebeurtenissen (en hiermee ook ten opzichte van de eerste waarnemer, die immers stil staat ten opzichte van de gebeurtenissen). Uit de gevonden vergelijking blijkt dat de twee waarnemers hun tijden verschillend registeren: de hoeveelheid tijd die voor de ene waarnemer verstrijkt tussen twee gebeurtenissen is niet dezelfde als die voor de ander. De factor $\left(1- \left( \frac{v}{c} \right)^2 \right)^{-1/2}$ is een maat daarvoor. Deze factor wordt de lorentzfactor genoemd, en zal nog vaker voorkomen in de SRT; hij wordt conventioneel aangeduid met de letter $\gamma$, waarbij

$$\gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1- \left( \frac{v}{c} \right)^2}}.$$ (167)

Merk alvast op dat deze factor oneindig groot wordt als de twee waarnemers een onderlinge snelheid hebben gelijk aan $c$; verder kan al worden opgemerkt dat als de twee waarnemers een onderlinge snelheid hebben groter dan $c$, de factor imaginair wordt en daardoor nooit fysisch relevant kan zijn. Dit is een eerste hint dat de lichtsnelheid niet alleen invariant is, maar ook de maximale snelheid is die fysisch mogelijk is. Voor het effect van tijddilatatie is het alleen nodig op te merken dat de lorentzfactor altijd groter is dan $1$. Hieruit volgt dat $d\tau$ kleiner is dan $dt$, oftewel: de tijd verstreken tussen twee gebeurtenissen is voor de waarnemer die stilstaat ten opzichte van de twee gebeurtenissen, kleiner dan voor de waarnemer die zich met snelheid $v$ beweegt ten opzichte van de gebeurtenissen ( $d\tau < dt$). Wat betekent dit nu fysisch? Op eerste gezicht lijkt dit te betekenen dat de tijd sneller verloopt voor de eerste waarnemer dan voor de tweede: immers, de eerste waarnemer heeft minder tijd nodig om van een gebeurtenis naar de andere te gaan. De conclusie is echter net andersom, zoals een voorbeeld laat zien. Laat de eerste gebeurtenis het moment zijn waarop de twee waarnemers nog gelijk lopende klokken hebben, en waarop beide waarnemers kijken naar de slinger van de klok van waarnemer W1, die net op het punt staat een slinger te maken. Na een zekere tijd $T$ heeft de slinger de andere kant bereikt, gezien vanuit de waarnemer die de klok bij zich heeft: $d\tau = T$. De stilstaande waarnemer W2 kijkt ondertussen naar dezelfde klok (die zich ten opzichte van hem voortbeweegt met snelheid $v$), en voor deze waarnemer doet de slinger er een tijd $dt = \gamma d\tau$ over: langer. Dit wil dus zeggen, dat de stilstaande waarnemer observeert dat de voorbijvliegende klok langer nodig heeft dan $T$ om een enkele slinger te maken. De conclusie van de stilstaande waarnemer zou dan ook zijn dat de voorbijkomende klok te langzaam loopt. Dit is wat er bedoeld wordt met tijddilatatie: voor een stilstaande waarnemer lijkt een voorbij komende klok langzamer te lopen dan voor de waarnemer die met de klok meebeweegt. Dit wordt vaak aangeduid met de slogan `bewegende klokken lopen langzaam'; echter, de lading zou wellicht beter gedekt door de uitspraak `voor een stilstaande waarnemer lijkt de bewegende klok langzamer te lopen'.

Een vraag komt dan al snel op: loopt een bewegende klok nu `echt' langzamer dan de stilstaande klok? Want goed beschouwd hebben we hier alleen maar laten zien dat de bewegende klok langzamer lijkt te lopen wanneer bekeken door een stilstaande waarnemer. Het antwoord is dat er geen verschil is tussen langzamer lijken te lopen, en daadwerkelijk langzamer lopen: fysica gaat immers alleen over gemeten effecten, wat wil zeggen dat wij over alle effecten die zich niet via een meting openbaren, geen zinnige (dat wil zeggen testbare) uitspraak kunnen doen. Elke gemeten waarneming is net zo `waar' als elke andere gemeten waarneming. Het heeft dan ook geen zin ons af te vragen of de slinger van een klok nu `echt' langzamer slingert wanneer het beweegt, of dat het alleen maar zo `lijkt' in onze waarneming: alleen onze meting geldt.

Wat de relativiteitstheorie ons nu geleerd heeft, is dat de gemeten tijdsduur van een proces afhankelijk is van de snelheid van de waarnemer, en de vraag hoe snel een proces nu `echt' gaat, is onzinnig geworden. Dit is, zoals ook al genoemd in de discussie over het relativiteitsprincipe, de kern van het woord `relativiteit': er is geen absoluut antwoord meer op de vraag wat de `werkelijke' waarde is van bepaalde grootheid; elke waarde is waarnemer-afhankelijk geworden, en elke gemeten waarde is even `waar'.

Enkele laatste opmerkingen over tijddilatatie. Het moge duidelijk zijn dat dit verschijnsel niets te maken heeft met de mechaniek van de klokken. Het is een puur geometrisch verschijnsel, direct voortkomend uit de minkowskimetriek. Het verschijnsel beperkt zich dan ook niet tot klokken, en geldt voor elk fysisch meetbaar tijdsverschil: de slinger van een klok, de duur van een harteklop, het verval van een atoomkern, de levensduur van een mens, het vallen van een steen, etc, alle verschijnselen lijken langzamer te gaan voor een waarnemer, wanneer deze verschijnselen zich bewegen ten opzichte van deze waarnemer.