Lorentzcontractie

Een tweede direct gevolg van het minkowskilijnelement is de lorentzcontractie: afstanden tussen gebeurtenissen zijn korter voor een waarnemer die beweegt ten opzichte van de gebeurtenissen. Startpunt is wederom het lijnelement en we kiezen de $x$-as als richting van relatieve beweging. Er geldt

$$-c^2dt^2+dx^2 = -c^2dt^{\prime 2}+dx^{\prime 2}.$$ (168)

Om lorentzcontractie aan te tonen beschouwen we de volgende twee gebeurtenissen: de voorkant van een lat passeert een waarnemer, en de achterkant van de lat passeert deze waarnemer. Voor deze waarnemer vinden de twee gebeurtenissen plaats op dezelfde positie, dus geldt $dx' = 0$. De tijd die de lat erover doet om de waarnemer te passeren, $dt'$, kan gebruikt worden door deze waarnemer als een maat voor de lengte van de lat. Als de lat passeert met een snelheid $v$, concludeert deze waarnemer dat de lat een lengte heeft van $L' = v dt'$. De rechterkant van deze vergelijking kan dan ook worden geschreven als

$$-c^2dt^2+dx^2 = -{c^2L^{\prime 2} \over v^2}.$$ (169)

De linkerkant van deze vergelijking heeft betrekking op een andere waarnemer die met de lat meebeweegt. Voor deze waarnemer vinden de twee gebeurtenissen (het de eerste waarnemer passeren van voor en achterkant van de lat) plaats op een onderlinge afstand van $L$, de lengte van de lat zoals gemeten door deze tweede waarnemer. De tijdsduur tussen de twee momenten, $dt$ is echter anders voor deze waarnemer, omdat er een tijddilatatie optreedt⁵⁰. Er geldt $dt' = \gamma^{-1} dt$. Als we dan vervolgens weer gebruiken dat de tijd $dt'$ een maat is voor de lengte $L'$ van de lat zoals gemeten door de eerste waarnemer, dan kan vergelijking (175) geschreven worden als

$$-c^2\gamma^2 {L^{\prime 2} \over v^2} +L^2 = -{c^2L^{\prime 2} \over v^2}.$$ (170)

Dit is nu een relatie tussen de lengte van de lat zoals gemeten door de waarnemer die de lat stil ziet staan, en zoals gemeten door de waarnemer die de lat ziet passeren met een snelheid $v$. Vereenvoudigd is deze relatie

$$L = \gamma L'.$$ (171)

Wanneer herinnerd wordt dat $\gamma$ altijd groter is dan 1, zien we nu dat de lengte van een lat korter lijkt voor iemand die de lat ziet bewegen, dan iemand die de lat in rust ziet. Dit is de lorentzcontractie: afstanden lijken korter wanneer waargenomen door een bewegende waarnemer. Merk op dat dit niet alleen geldt voor latten, maar natuurlijk voor alle fysisch meetbare afstandsverschillen. Net als tijddilatatie, is lorentzcontractie een puur geometrisch effect, een direct gevolg van het minkowskilijnelement. Bovendien geldt ook hier weer dat er geen absoluut antwoord is op de vraag hoe lang een lat nu `echt' is: afstand is een snelheids-afhankelijke grootheid geworden, en kan dientengevolge alleen bepaald worden ten opzichte van een gegeven waarnemer: het relativiteitsprincipe!