De lorentztransformaties

Uit het relativiteitsprincipe volgde al dat het lijnelement invariant dient te zijn onder transformaties van coördinaten. Dit betekent dat er een beperkte set waarnemers is die onderling het minkowksilijnelement mogen gebruiken. We vragen ons af welke transformaties tussen waarnemers het minkowskilijnelement niet van vorm doen veranderen.

Wiskundig gezien is dan ook de vraag welke functies $x' = x' (t,x,y,z)$, $y' = y'(t,x,y,z)$, $z' = z'(t,x,y,z)$ de volgende vergelijking oplossen,

$$c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2 = c^2dt^{\prime 2}-dx^{\prime 2}-dy^{\prime 2}-dz^{\prime 2}.$$ (172)

Er zijn meerdere transformaties te bedenken die hieraan voldoen. De makkelijkste die we bedenken kunnen is dat we gewoon bij elke coordinaat een constante optellen,

$$t'= t+a_t, \quad \quad \quad x'= x+a_x, \quad \quad \quad y'= y+a_y, \quad \quad \quad z'= z+a_z.$$ (173)

Ingevuld in vergelijking (178) laat direct zien dat dit een oplossing is. Fysisch betekent deze oplossing niets anders dan dat de twee waarnemers een (vaste) afstand van elkaar staan ( $a_x,a_y,a_z$), en dat de klok van een van de waarnemers een (vaste) hoeveelheid tijd voor of achter loopt op die van de ander ($a_t$). Zulke transformaties noemt men translaties.

Een tweede set transformaties die het lijnelement gegeven in vergelijking (178) invariant laten, kan gevonden worden door veranderingen in de tijd en één van de plaats-coördinaten (bijvoorbeeld $z$) niet te beschouwen. In dat geval moet voldaan worden aan

$$dx^2 + dy^2 = dx^{\prime 2} + dy^{\prime 2},$$ (174)

oftewel de som van twee kwadraten dient niet te veranderen. Deze vergelijking is eenvoudig op te lossen door te schrijven

$$x' = A_x x + A_y y \quad \quad y' = B_x x + B_y y,$$ (175)

waar $A_x, A_y, B_x, B_y$ constanten zijn. Ingevuld in vergelijking (180) laat dan zien dat voor deze constanten dient te gelden

$$A_x^2+B_x^2 = 1, \quad \quad A_y^2+B_y^2 = 1 \quad \quad A_x A_y = -B_x B_y.$$ (176)

Aan de eerste twee eisen kan direct voldaan worden: als een som van twee kwadraten een constante moet opleveren, dan ligt het voor de hand om sinussen en cosinussen te proberen, aangezien voor deze functies geldt $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ voor elke hoek $\alpha$. Men kan dus kiezen $A_x = \cos \alpha, B_x = \sin \alpha$ en $A_x = \cos \beta, B_x = \sin \beta$ om aan de eerste twee vergelijkingen te voldoen; aan de derde vergelijking is dan ook voldaan wanneer gekozen wordt $\beta = -\alpha$. Op deze manier is de transformatie compleet, en vinden we

Deze transformatie correspondeert met een draaiing om de $z$-as over een hoek $\alpha$. Bijvoorbeeld, als die hoek ${\pi \over 2}$ is (een draaiing van $90^\circ$), dan is $x' = y$, en $y' = x$: de twee waarnemers staan stil ten opzichte van elkaar, maar zijn onderling $90^\circ$ gedraaid. Transformaties als deze heten rotaties. In het voorgaande hebben we alleen een draaiing over de $z$-as beschouwd, maar de uitbreiding naar draaiingen over de andere assen zijn net zo eenvoudig te vinden.

Een derde soort transformatie kan gevonden worden door nu niet de tijd en een plaatscoördinaat constant te houden, maar in plaats daarvan twee ruimtelijke coördinaten (bijvoorbeeld $y$ en $z$). In dat geval dient de transformatie te voldoen aan

$$-c^2dt^{\prime 2} + dx^{\prime 2} = -c^2dt^2+dx^2.$$ (178)

Door nu te schrijven

$$ct' = A_t ct + A_x x , \quad \quad x' = B_t ct + B_x x ,$$ (179)

(waar $A_t$, $A_x$, $B_t$, $B_x$ constanten zijn) en in te vullen in vergelijking (184), wordt gevonden dat de constanten moeten voldoen aan

$$A_t^2-B_t^2 = 1, \quad \quad -A_x^2+B_x^2 = 1 \quad \quad A_t A_x = B_t B_x.$$ (180)

Deze keer zullen sinussen en cosinussen niet voldoen, omdat hier nu het verschil van twee kwadraten een constante moet zijn om aan de eerste twee vergelijkingen te voldoen. Dit is precies wat de hyperbolische functies $\cosh$ en $\sinh$ definieert: voor deze geldt namelijk dat $\cosh^2 \eta-\sinh^2 \eta= 1$, voor elke waarde van $\eta$. Het ligt dan ook voor de hand te kiezen $A_t = (\cosh \eta)ct, B_t=(\sinh \eta)x$ en $A_x = (\sinh \rho)ct, B_x(\cosh \rho)x$ zodat aan de eerste twee vergelijkingen is voldaan. Aan de derde vergelijking kan vervolgens voldaan worden door $\rho = \eta$ te kiezen. Hiermee is dan de transformatie compleet, en vinden we

$$ct' = (\cosh \eta) ct + (\sinh \eta) x, \quad \quad x' = (\sinh \eta) ct + (\cosh \eta) x.$$ (181)

Wiskundig is dit een draaiing in ruimtetijd, maar dan over een `hyperbolische hoek' $\eta$ in plaats van een normale. Maar wat betekent dit fysisch? Met name: wat is de betekenis van de hyperbolische hoek $\eta$? Dit kan worden gevonden door de tijddilatatie te beschouwen: we hadden al gezien dat de tijden van twee waarnemers die met snelheid $v$ ten opzichte van elkaar bewegen, gerelateerd zijn via vergelijking (172). Als we de differentiaalvorm nemen van vergelijking (187) en kiezen $dt'$ = $d\tau$, dan kunnen we de eerste uitdrukking in vergelijking (187) schrijven als

$$d\tau = (\cosh \eta) dt + (\sinh \eta)\frac{1}{c} dx$$ (182)

Kwadrateren, delen door $dt^2$ en vergelijken met de tijddilatatie formule geeft dan

$$\cosh^2 \eta+ \left(\frac{v}{c} \right)^2 \sinh^2 \eta + 2 \left( \frac{v}{c} \right) \cosh \eta \sinh \eta = 1-\left(\frac{v}{c} \right)^2.$$ (183)

Dit is een kwadratische vergelijking voor de variabele $\frac{v}{c}$, en geeft een relatie tussen de snelheid $v$ en de hyperbolische hoek $\eta$. Zo is al meteen te zien dat $\eta$ niets anders is dan een ingewikkelde manier om de snelheid tussen twee waarnemers te beschrijven⁵¹. Wat de precieze relatie is tussen $v$ en $\eta$ vraagt nog een beetje meer rekenwerk. Allereerst moet vergelijking (189) herschreven worden tot

$$\left( \frac{v}{c} \right)^2(1+\sinh^2 \eta) + 2\left( \frac{v}{c} \right) (\cosh \eta \sinh \eta)+(\cosh^2 \eta-1) =$$ 0

$$\Rightarrow \quad \quad \left( \frac{v}{c} \right)^2(\cosh^2 \eta) + 2\left( \frac{v}{c} \right)(\cosh \eta \sinh \eta)+(\sinh^2 \eta) = 0.$$ (184)

waar in de laatste stap de relatie $\cosh^2 \eta-\sinh^2 \eta= 1$ is gebruikt. Deze vergelijking kan worden opgelost voor $\frac{v}{c}$ met behulp van de abc-formule. Het resultaat is het directe verband tussen $\frac{v}{c}$ en $\eta$,

$$\left( \frac{v}{c} \right)= - \frac{\sinh \eta}{ \cosh \eta} \equ... ...d \quad \Rightarrow \quad \quad \eta = -{\rm arctanh} \left(\frac{v}{c} \right)$$ (185)

Dit kan nu worden gebruikt om de transformatievergelijking (191) uit te drukken in de snelheid $v$, wat vaak een inzichtelijker grootheid is dan de hyperbolische hoek $\eta$. Hiervoor kunnen de volgende rekenregels worden gebruikt⁵²,

$$\cosh \left(-{\rm arctanh} \left(\frac{v}{c} \right) \right) = \sqrt{\frac{1}{1- \left( \frac{v}{c} \right)^2}} = \gamma$$

$$\sinh \left(-{\rm arctanh} \left(\frac{v}{c}\right) \right) = -\left(\frac{v}{c}\right) \sqrt{\frac{1}{1- \left( \frac{v}{c} \right)^2}} = -\left( \frac{v}{c} \right)\gamma.$$ (186)

Merk op dat de lorentzfactor $\gamma$ hier op natuurlijke wijze zijn intrede doet. Hiermee is dan gevonden dat de transformaties tussen de twee waarnemers gegeven worden door

$$\left. \begin{array}{rcl} cdt' &=& \gamma \left( cdt - \left( \... ...array} \right) \rightarrow x^{\mu^\prime} = \Lambda_{~\nu}^{\mu^\prime} x^\nu$$ (187)

(waar de relaties tussen de $y$ en $z$ afstanden ook weer zijn toegevoegd). Hierbij is $\beta = v/c$ de snelheid als fractie van de lichtsnelheid. Verder gebruiken we $x^\mu$ met $x^0 = ct$, $x^1 = x$, $x^2 = y$ en $x^3 = z$, alsook de transformatiematrix $\Lambda_{~\mu}^{\nu^\prime}$.

De inverse transformaties kunnen we vinden door $v$ door $-v$ te vervangen. We vinden

$$\left. \begin{array}{rcl} cdt &=& \gamma ( cdt' + \beta dx' ) \... ...array} \right) \rightarrow x^\mu = \Lambda_{~\nu^\prime}^\mu x^{\nu^\prime} .$$ (188)

We zien dan dat vergelijking (193) geschreven kan worden als $x^{\mu^\prime} = \Lambda_{~\nu}^{\mu^\prime} x^\nu$, terwijl voor de inverse relaties (194) geldt $x^{\mu} = \Lambda_{~\nu^\prime}^{\mu} x^{\nu^\prime}$. Deze vergelijkingen heten de lorentztransformaties, en spelen een hoofdrol in de SRT. Fysisch stellen zij het verschil voor tussen afstanden en tijdsduren zoals gemeten door waarnemers die zich ten opzichte van elkaar bewegen met een constante snelheid $v$ in $x$-richting. Zulke vergelijkingen zijn eenvoudig af te leiden voor waarnemers die zich met snelheid $v$ in andere richtingen bewegen. Tezamen met de translaties in alle richtingen en de rotaties om de drie ruimte-assen, vormen de lorentztransformaties de volledige set transformaties die het lijnelement niet veranderen, oftewel: onder deze transformaties is het relativiteitprincipe veilig gesteld. De conclusie is dan ook de volgende: zolang waarnemers maar louter getransleerd en/of geroteerd zijn ten opzichte van elkaar, of alleen met constante snelheid ten opzichte van elkaar bewegen, kunnen zij allen het minkowskilijnelement blijven gebruiken, en gelden dus alle wetten afgeleid in dit hoofstuk voor de coördinaatsystemen voor al zulke waarnemers. Zulke stelsels noemen we inertiaalstelsels. Dit is wat de speciale relativititeitstheorie het predikaat `speciaal' geeft: alle wetten afgeleid gelden voor een beperkte set waarnemers. In latere hoofdstukken zullen we onze bevindingen uitbreiden naar alle waarnemers, leidend tot de theorie van de algemene relativiteit. Voor nu zullen we in de rest van dit hoofdstuk altijd louter inertiaalstelsels beschouwen: vanaf nu zal er met `waarnemer' een waarnemer bedoeld worden die zich in een inertiaalstelsel bevindt.

De lorentztransformaties geven ons alle mogelijke relaties tussen de tijdsduren en afstanden zoals gemeten door verschillende waarnemers die zich bewegen met snelheid $v$ ten opzichte van elkaar. Twee specifieke voorbeelden van zulke relaties hadden we al eerder gezien, toen nog direct afgeleid uit het minkowskilijnelement: de tijddilatatie en de lorentzcontractie. Deze liggen dan ook automatisch opgesloten in de lorentztransformaties. Voor tijddilatatie hoeven we alleen maar te kijken naar het speciale geval dat een van de waarnemers een tijdsduur meet tussen twee gebeurtenissen die ten opzichte van hem op een en dezelfde positie plaatsvinden, zodat $dx = 0$; voor deze waarnemer schrijven we $dt = d\tau$; er volgt dan direct uit vergelijking (194) dat een andere waarnemer een tijdsduur meet tussen deze twee gebeurtenissen gelijk aan $dt' = \gamma d\tau$. Dit is precies de tijddilatatieformule in vergelijking (172). Verder, om de lorentzcontractie af te leiden uit de lorentztransformaties hoeft alleen naar het speciale geval gekeken te worden dat de twee gebeurtenissen de metingen zijn van voor- en achterkant van een lat door een waarnemer die deze metingen doet op een en hetzelfde tijdstip (immers: als dat niet het geval is, zal de lat `voorbij' vliegen in de tijd die deze waarnemer wacht tussen meting van voor- en achterkant, en stelt de afstand tussen gemeten positie van voor- en achterkant dus niet meer de lengte van de lat voor). Voor deze waarnemer geldt dan ook $dt = 0$, en zal de lengte van de lat gegeven zijn door $dx = L$; volgens vergelijking (194) meet de waarnemer in rust ten opzichte van de lat een lengte van $dx' = L = \gamma L$. Dit is precies de lorentzcontractie formule, vergelijking (177).

De tijddilatatie en lorentzcontractie zijn slechts speciale gevallen van de lorentztransformaties, een set algemene relaties tussen tijdsduren en afstanden zoals gemeten door waarnemers die bewegen ten opzichte van elkaar met een snelheid $v$.