Invariantie van de lichtsnelheid

We zijn nu op het punt aangekomen dat we ons kunnen buigen over de vraag hoe snelheden veranderen tussen waarnemers die zich bewegen ten opzichte van elkaar. Snelheid is niets anders dan een verandering van positie gedeeld door de verstreken tijd benodigd om de afstand tussen de begin en eindposities te overbruggen. Maar zoals al gezien, zijn afgelegde afstanden en verstreken tijden niet meer absoluut: zij verschillen van waarnemer tot waarnemer. Het is dan ook te verwachten dat het concept gemeten snelheid op een nieuwe manier zal transformeren tussen verschillende waarnemers. Hiervoor beschouwen we twee waarnemers, 1 en 2, die ten opzichte van elkaar bewegen met een constante snelheid $v$. Beiden kijken naar een bewegend deeltje, en meten daar de snelheid van, waarbij $u_1$ de snelheid is zoals gemeten door waarnemer 1, en $u_2$ de snelheid zoals gemeten door waarnemer 2. De vraag is nu hoe deze twee gemeten snelheden zich tot elkaar verhouden.

Per definitie is de snelheid zoals gemeten door waarnemer 2 gegeven door

$$u_2 \equiv \frac{dx_2}{dt_2}.$$ (189)

De transformatie tussen tijd- en positieverschillen wordt gegeven door de lorentztransformatie, vergelijking (194); teller en noemer kunnen dan ook direct worden ingevuld, en worden uitgedrukt in de gemeten afstand en verstreken tijd $dx_1$ en $dt_1$ zoals gemeten door waarnemer 1. Dit levert

$$u_2 = \frac{\gamma}{\gamma} \frac{dx_1+vdt_1}{dt_1+\left( \frac{v... ...2} \right) \frac{dx_1}{dt_1}} = \frac{u_1+v}{1+\left(\frac{v}{c^2}\right)u_1},$$ (190)

waarin is gebruikt dat $dx_1$ gedeeld door $dt_1$ precies de snelheid $u_1$ is zoals gemeten door waarnemer 1.

Dit is de zogenaamde regel van Einstein voor het samenstellen van snelheden: gegeven de snelheid $u_1$ van een object zoals gemeten door waarnemer 1, geeft deze formule ons de snelheid $u_2$ van dit object zoals gemeten door waarnemer 2 die zich zelf met snelheid $v$ beweegt ten opzichte van waarnemer 1. Voor kleine snelheden gaat de relatie over in de normale optelling van snelheden in de klassieke mechanica: $u_2 = u_1 + v$.

Een aantal interessantie eigenschappen kan nu worden opgemerkt. Zo kan eenvoudig worden aangetoond dat als een waarnemer een deeltje ziet bewegen met een snelheid lager dan de lichtsnelheid (oftewel $u_1 < c$), elke andere waarnemer dit deeltje ook ziet bewegen met een snelheid lager dan de lichtsnelheid ($u_2 < c$). Ook kan worden aangetoond dat als een waarnemer het deeltje ziet bewegen met een snelheid hoger dan de lichtsnelheid, elke andere waarnemer dit deeltje ook ziet bewegen met een snelheid hoger dan de lichtsnelheid. Dit laatste is overigens alleen wiskundig waar: het zal later worden aangetoond dat niets sneller kan gaan dan het licht⁵³.

Ht belangrijkste gevolg van Einstein's snelheidsregel is dat alle waarnemers dezelfde snelheid voor een lichtsignaal zullen meten, ongeacht de onderlinge snelheden tussen deze waarnemers: voor elke waarnemer zal een foton zich voortplanten met snelheid $c$. Neem als bewegend object een foton, dat voor waarnemer 1 met een snelheid van $u_1=c$ beweegt. Einstein's snelheidsregel zegt dan vervolgens dat ook waarnemer 2 dit foton met snelheid $u_2 = c$ ziet bewegen,

$$u_2 = \frac{u_1+v}{1+\left(\frac{v}{c^2}\right)u_1} \vert _{u_1 = c} = \frac{c+v}{1+\left(\frac{v}{c}\right)} = c.$$ (191)

Dit betekent dat licht zich altijd (dit wil zeggen voor elke waarnemer in elk inertiaalsysteem) met de lichtsnelheid voortbeweegt! Stel dat waarnemer 1 een lichtstraal afvuurt. De fotonen snellen met de lichtsnelheid weg ten opzichte van waarnemer 1 Waarnemer 2 besluit om met hoge snelheid het licht achterna te gaan. Hiertoe beweegt hij bijvoorbeeld met 99 % van de snelheid ten opzichte van waarnemer 1. Als hij nu een meting uitvoert van de snelheid van de lichtbundel uitgezonden door waarnemer 1, meet hij toch weer dezelfde snelheid $c$. Ten opzichte van het licht heeft hij geen enkele vordering gemaakt! De snelheid $v$ tussen de twee waarnemers blijkt geheel irrelevant (hij werd weggedeeld in de laatste stap). Blijkbaar maakt het niet uit hoe snel de twee waarnemers zich bewegen ten opzichte van elkaar: als een van hen een foton ziet dat met de lichtsnelheid gaat, dan ziet elke andere waarnemer dit ook. De conclusie is dan ook: licht gaat voor elke waarnemer met de lichtsnelheid. Men zegt ook wel: de lichtsnelheid is invariant. Op deze manier hebben we Einstein's oorspronkelijke eerste postulaat teruggevonden, louter en alleen door uit te gaan van de minkowskimetriek en het relativiteitsprincipe.

Tijddilatatie kan ook direct worden afgeleid uit de constantheid van de lichtsnelheid voor verschillende waarnemers. Om dit duidelijk te maken beschouwen we een eenvoudige klok gebaseerd op reflecterend licht. De klok is weergegeven in Fig. 38.

Figuur 38: Een klok gebaseerd op een foton dat reflecteert tussen twee spiegels. Links: de klok is in rust en een kloktik komt overeen met de vluchttijd van het foton. Rechts: een waarnemer die een bewegende klok ziet, meet dat deze klok langzamer loopt.

Elke kloktik correspondeert met de heen- en terugreis van een foton tussen de spiegels. Voor een stilstaande klok duurt een kloktik $\Delta t {2L \over c}$ s. Als de klok beweegt met snelheid $v$, dan moet het licht een langere weg afleggen om de heen- en terugreis te maken. De geometrie laat toe om de kloktik van de bewegende klok te bepalen. Er geldt $\Delta t^\prime = {2D \over c}$ en de diagonale afstand $D$ kan met behulp van de stelling van Pythagoras bepaald worden als $D = \sqrt{L^2 + {1 \over 4}v^2(\Delta t^\prime )^2}$. Invullen en oplossen van $\Delta t^\prime$ levert $\Delta t^\prime = {2L \over c}{1 \over \sqrt{1-{v^2 \over c^2}}} = \gamma \Delta t$. We vinden hiermee weer de formule voor tijddilatatie.

Een goed voorbeeld van tijddilatatie zijn muonen die gecreëerd worden in de buitenste laag van de aardatmosfeer en richting de aarde bewegen. Vanwege tijddilatatie is hun levensduur beduidend langer dan de levensduur zoals die op aarde (in het rustsysteem van de muonen) gemeten wordt: 2.2 $\mu$s. Dit laat toe dat dergelijke kosmische muonen een grotere weg afleggen en het oppervlak van de aarde bereiken kunnen. Voor een waarnemer die meereist met een muon nadert de aarde met een snelheid in de buurt van de lichtsnelheid, maar kan de afgelegde weg desondanks niet meer dan $c \Delta t = (3 \times 10^8 ~{\rm m/s})(2.2 \times 10^{-6}) =660$ m afleggen. Toch bereiken deze muonen het aardoppervlak, terwijl de afstand van de buitenste laag van de atmosfeer tot het oppervlak ongeveer 20 km is. De verklaring is dat deze lengte van 20 km voor de meereizende waarnemer lorentz-gecontraheerd is tot minder dan 660 m.

We kunnen onze lichtklok ook gebruiken om lorentzcontractie te begrijpen. We tonen de geometrie in Fig. 39.

Figuur 39: Een klok gebaseerd op een foton dat reflecteert tussen twee spiegels. Panel (a): uiteinde 1 van de staaf passeert waarnemer $A$; panel (b): uiteinde 2 passeert $A$; panel (c): de situatie zoals gezien door waarnemer $B$.

Twee waarnemers $A$ en $B$ hebben een relatieve snelheid $v$ ten opzichte van elkaar. Waarnemer $B$ houdt een staaf vast in de richting van $v$. We beschouwen eerst de situatie vanuit waarnemer $A$. Panel (a) toont de situatie waarbij uiteinde 1 van de staaf waarnemer $A$ passeert. Op dat moment stuurt $A$ een lichtflits in de richting van de spiegel. In panel (b) wordt de situatie getoond waarbij uiteinde 2 van de staaf waarnemer $A$ passeert. De afstand tussen waarnemer $A$ en de spiegel is dusdanig dat precies op dit tijdstip de lichtflits weer bij $A$ aankomt. Voor $A$ is er inmiddels een tijd $\Delta t^\prime$ verstreken. Waarnemer $A$ die de lengte van een ten opzichte van hem bewegende staaf meet, concludeert hij dus dat de lengte van de staaf $L^\prime$ gegeven wordt door $L^\prime = 2v\Delta t^\prime$. Panel (c) schetst de situatie voor de met de staaf meebewegende waarnemer $B$. Door te kijken naar dezelfde lichtklok meet $B$ de lengte van de staaf als $L=2v\Delta t$, waarbij $\Delta t$ de tijdspanne verstreken op zijn klok is. Vervolgens gebruikt hij de tijddilatatie formule, $\Delta t = \gamma \Delta t^\prime$ (merk op dat waarnemer $B$ de tijd van een voor hem bewegende klok gebruikt!) en vindt $L^\prime = L \sqrt{1-{v^2 \over c^2}} = {L \over \gamma}$.