Ruimtetijd

Hier stellen we ons wederom de vraag: wat is ruimtetijd? Waarom is het onjuist om over ruimte en tijd als aparte grootheden te spreken in plaats van over ruimtetijd als geheel? In de natuurkunde van Aristoteles werd ruimte voorgesteld als een Euclidische drie-dimensionale ruimte $\mathbb{E}^3$. De punten van de ruimte behouden hun identiteit van het ene moment op het andere. Stel een deeltje bevindt zich in rust op een bepaald ruimtelijk punt. We nemen dan aan dat wanneer we dit ruimtelijk punt nu beschouwen en ook op een later tijdstip, we te maken hebben met hetzelfde ruimtelijk punt. Ons beeld van realiteit correspondeert dan met het scherm in een bioscoop, waar een bepaald punt op het scherm zijn identiteit behoudt wat er ook op dat scherm geprojecteerd wordt. Evenzo wordt tijd voorgesteld as een Euclidische ruimte, maar dat is de triviale $\mathbb{E}^1$ één-dimensionale ruimte⁵⁴. De Euclidische ruimte geeft een definitie van het begrip afstand tussen punten. Verder is er een begrip van gelijktijdigheid. Het is dus absoluut zinvol om te spreken van gebeurtenissen die gelijktijdig hier en elders plaatsvinden. Om in de beeldspraak van de bioscoop te blijven: als we een bepaald frame van de film beschouwen dan worden alle gelijktijdige gebeurtenissen op verschillende plaatsen op het scherm geprojecteerd. De ruimtetijd van Aristoteles is het product

$$\mathcal{A} = \mathbb{E}^1 \times \mathbb{E}^3 .$$ (192)

Het is eenvoudig de ruimte opgespannen door de paren $(t, \vec x)$, met $t$ een element van $\mathbb{E}^1$, een tijd, en $\vec x$ een element van $\mathbb{E}^3$, een punt in de ruimte. Deze ruimtetijd wordt weergegeven in Fig. 40 (linker figuur).

Figuur: Links: de ruimtetijd van Aristoteles $\mathcal{A} = \mathbb{E}^1 \times \mathbb{E}^3$ bestaat uit paren $(t, \vec x)$. Rechts: de ruimtetijd van Galileo, $\mathcal{G}$, is een fiberruimte. Er is geen puntsgewijze connectie tussen verschillende $\mathbb{E}^3$ fibers: er bestaat geen absolute ruimte! Er is echter wel een unieke tijd voor elke ruimtetijd gebeurtenis: absolute tijd bestaat.

Laten we nu eens kijken wat Galileo's relativiteitsprincipe voor een gevolg heeft op ons begrip van ruimtetijd. Galileo vertelt ons dat de dynamische wetten hetzelfde zijn in elk inertiaalsysteem. Er is niets in de natuurkunde dat gebruikt kan worden om een systeem van rust te onderscheiden van een systeem dat met uniforme snelheid beweegt. Dit betekent dat er geen dynamische betekenis is in het stellen dat een bepaald ruimtelijk punt op dit moment hetzelfde is als het ruimtelijk punt een moment later. Het is zinloos te stellen dat het ruimtelijk punt waar mijn koffiekop zich nu bevindt, hetzelfde ruimtelijk punt is een minuut later. Gedurende deze minuut is de aarde om zijn as geroteerd en in dat systeem is mijn koffiekop op een ander ruimtelijk punt. Echter de aarde draait ook om de zon en dat levert weer een ander punt op. Kortom, de analogie van een projectiescherm is onjuist! We hebben niet één enkele Euclidische ruimte $\mathbb{E}^3$ als de arena waarin de acties van de fysische wereld zich in de tijd afspelen. We hebben verschillende $\mathbb{E}^3$s voor elk tijdstip en er is geen natuurlijke identificatie tussen deze verschillende $\mathbb{E}^3$s. Wiskundig gezien is Galileo's ruimtetijd $\mathcal{G}$ geen productruimte $\mathbb{E}^1 \times \mathbb{E}^3$, maar iets dat wiskundigen een fiberbundel noemen met als basis $\mathbb{E}^1$ en fiber $\mathbb{E}^3$. De situatie is geschetst in Fig. 40 (rechter figuur). Een fiberbundel heeft geen puntgewijze connectie tussen één fiber en de volgende. Desalnietemin vormen de fibers samen een geheel. Aan elk ruimtetijd element van $\mathcal{G}$ wordt een tijd toegekend, en deze laatste is een element van de `klokruimte' $\mathbb{E}^1$.

Het bestaan van een lichtsnelheid die voor elke waarnemer hetzelfde is, heeft het verdwijnen van de absolute tijd tot gevolg. In Fig. 41 nemen we een gebeurtenis $\mathcal{P}$ in ruimtetijd en beschouwen we alle lichtstralen die door $\mathcal{P}$ gaan voor elke richting (zie Fig. 41a). We kunnen ruimtetijd voorstellen door horizontaal de $x$ en $y$ richting uit te zetten, terwijl we de tijdcoördinaat ($ct$) verticaal kiezen. De lichtstralen vormen een kegel in ruimtetijd, de zogenaamde lichtkegel. Als we de lichtsnelheid als fundamenteel nemen, dan betekent dit dat we de lichtkegel als fundamenteel nemen. De lichtkegel definieert een structuur in de tangentenruimte $T_P$ die hoort bij $\mathcal{P}$.

Figuur: De lichtkegel specificeert de fundamentele snelheid van het licht. In (a) worden de banen van de uitgezonden fotonen ruimtelijk geschetst als een bol die expandeert vanuit punt $\mathcal{P}$. In (b) zien we dat in ruimtetijd de fotonen een kegel uitsnijden. In (c) zien we dat de kegel ruimtetijd opsplitst in een verleden en een toekomst. De wereldlijn van een massief deeltje in $\mathcal{P}$ heeft een vector die naar de toekomst wijst en tijdachtig is. Deze vector ligt dus binnen de toekomst lichtkegel van $\mathcal{P}$.

De lichtkegel wordt gevormd door gebeurtenissen waarvoor geldt

$$s^2 = c^2 \Delta t^2 - \Delta r^2 = 0.$$ (193)

Gebeurtenissen die van $\mathcal{P}$ gescheiden zijn door een tijdachtig interval, vallen binnen de lichtkegel en er geldt $s^2 > 0 \rightarrow c^2 \Delta t^2 > \Delta r^2$. Dergelijke gebeurtenissen kunnen causaal verbonden zijn. Dat is niet mogelijk voor zogenaamde ruimtelijk gescheiden gebeurtenissen die buiten de lichtkegel vallen. Hiervoor geldt $s^2 < 0 \rightarrow c^2 \Delta t^2 < \Delta r^2$.

Merk op dat de lichtkegel uit twee delen bestaat: een verleden kegel en een toekomst kegel. We kunnen ons de verleden kegel voorstellen als de geschiedenis van een lichtflits die implodeert op $\mathcal{P}$. De toekomst kegel zien we als een lichtflits die explodeert vanuit punt $\mathcal{P}$. Fotonen liggen op de rand van de kegel, terwijl de wereldlijnen van massieve deeltjes die door $\mathcal{P}$ gaan, binnen de kegel dienen te liggen. De structuur van ruimtetijd in de SRT is zodanig dat voor elke gebeurtenis van ruimtetijd een lichtkegel bestaat die voor deze gebeurtenis de causale structuur bepaalt. We zullen dit uitdiepen in de volgende sectie.