Newtoniaanse mechanica en het formalisme van Lagrange

De bewegingswetten van Newton zijn algemeen bekend. De bekendste is waarschijnlijk dat deeltjes zich in een rechte lijn en met constante snelheid voortbewegen zolang er geen krachten op werken. Dit wordt mathematisch uitgedrukt als

$$m \frac{d^2 \vec{x}}{dt^2} = 0,$$ (23)

waar $\vec{x} = \vec{x}(t)$ de positie van het deeltje is, en $m$ zijn massa. Indien er een kracht $\vec{F}$ op het deeltje werkt, komt deze aan de rechterzijde van deze vergelijking te staan. Deze formule is de basis van de Newtoniaanse mechanica en levert een stappenplan voor het oplossen van mechanische vraagstukken: vul de kracht in die op een deeltje werkt, los de resulterende vergelijking op, en de positie van het deeltje als functie van de tijd is dan bekend.

De tweede wet kan niet worden afgeleid; het is een experimenteel gegeven. Als wij deze willen uitbreiden naar een versie die geldt in de speciale relativiteitstheorie, is er net zo min een concrete afleiding beschikbaar. Wel kan er een uitbreiding geloofwaardig worden gemaakt door gebruik te maken van de minkowksimetriek en het relativiteitsprincipe. Het is dan vervolgens aan experiment om aan te tonen of de gevonden uitbreiding van Newtons tweede wet geldt of niet. Dit blijkt het geval te zijn en we geven deze afleiding in sectie 5.11. Hier geven we een soortgelijke afleiding voor de tweede wet van Newton. We zullen in sectie 5.11 zien dat de relativistische uitbreiding nog maar een kleine stap is. Het formalisme dat we hiervoor zullen gebruiken is dat van Lagrange.

Lagrange (1736-1813) ontwikkelde een nieuwe manier van mechanica doen, gebaseerd op een functie die nu zijn naam draagt: de Lagrangiaan $L$. Deze functie is gedefinieerd als het verschil tussen de kinetische energie $K$ van een deeltje, en zijn potentiële energie $V$

$$L(x(t), v(t))=K(x(t),v(t))-V(x(t),v(t)),$$ (24)

en deze functie geïntegreerd over de tijdsduur van een fysisch proces noemt met de actie $S$,

$$S = \int^{t_2}_{t_1} L(x(t),v(t)) dt,$$ (25)

waarin $t_1$ het tijdstip van begin van het proces is, en $t_2$ het tijdstip van het eind van het proces. Zoals al gesuggereerd door onze notatie, heeft de Lagrangiaan van een deeltje in het algemeen geen constante waarde. Dit komt doordat de kinetische energie en de potentiële energie in het algemeen geen constante waarden hebben, omdat zij functies zijn van de positie en snelheid van het deeltje. Beschouw als voorbeeld een deeltje in het zwaartekrachtsveld van de aarde: de potentiële energie is laag wanneer dit deeltje dicht bij de aarde is, maar hoog wanneer het ver weg is; de kinetische energie neemt echter toe wannneer het deeltje onder invloed van die zwaartekracht steeds sneller naar de aarde valt. Dit voorbeeld laat zien dat de waarde van de Lagrangiaan van een deeltje in het algemeen afhankelijk is van de positie en snelheid van het deeltje. Deze zijn op hun beurt weer functies van de tijd, dus uiteindelijk is de Lagrangiaan een geheel tijdsafhankelijke functie. De actie $S$ daarentegen is wel een constante, omdat we de Lagrangiaan integreren over de tijd (elke functie geïntegreerd over zijn variabele levert immers een constante op). De waarde van deze constante hangt daarmee, uiteraard, geheel af van het pad $x(t)$ dat het deeltje volgt tussen de twee tijdstippen $t_1$ en $t_2$. Welk pad dit is, is precies de vraag die wij beantwoord willen zien wanneer we mechanica doen. Als antwoord postuleert het formalisme van Lagrange dat een deeltje altijd het pad volgt dat de waarde van de actie minimaal of maximaal maakt. Dit noemt men het principe van extreme actie, en levert een geheel nieuw voorschrift om mechanica te doen: schrijf de Lagrangiaan op van bewegend deeltje, integreer deze over de tijd, en zoek het pad dat deze integraal minimaal of maximaal maakt.

Deze manier van mechanica doen is soms te prefereren boven de meer gebruikelijke wetten van Newton¹⁴. Hij is echter niet minder fundamenteel: het is zowel mogelijk het principe van extreme actie af te leiden door uit te gaan van de tweede wet van Newton, als omgekeerd. Het principe van extreme actie en de tweede wet van Newton zijn daarom geheel equivalent.

Als voorbeeld van een toepassing van het formalisme van Lagrange, zal de wet van Newton worden afgeleid door uit te gaan van het principe van extreme actie. We beschouwen een deeltje met massa $m$, dat beweegt onder invloed van een kracht $F$ en daarom een potentiële energie $V$ heeft gerelateerd aan de kracht via $\vec{F} \equiv -\nabla V$; de kinetische energie $K$ van een deeltje wordt, zoals altijd, gegeven door¹⁵ $K = \frac{1}{2}m v^i v_i$ (waar $v^i \equiv \frac{dx^i(t)}{dt}$ ). De Lagrangiaan van dit deeltje wordt dan gegeven door

$$L = \frac{1}{2}m v^i(t)v_i(t) - V(x(t)),$$ (26)

en de actie $S$ is dan

$$S = \int^{t_2}_{t_1} \left\{ \frac{1}{2}m v^i(t)v_i(t) - V(x(t)) \right\} dt.$$ (27)

Volgens het principe van extreme actie zal het deeltje een pad volgen dat de actie een extreme waarde geeft. Dit leidt tot het volgende wiskundige vraagstuk: gegeven een integraal over $t$ met integrand $L(\vec{x}(t),\vec{v}(t))$, hoe kan men dan bepalen welke functie $\vec{x}(t)$ de uitkomst van deze integraal minimaal of maximaal maakt? Het antwoord wordt gegeven door de vergelijkingen van Euler-Lagrange: de componenten $x^i(t)$ het pad $\vec{x}(t)$ dat de integraal een extreme waarde geeft, voldoet aan

$$\frac{\partial L}{\partial x^i} = \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L} {\partial v^i} \right).$$ (28)

Het bewijs van deze stelling is niet moeilijk, en gaat als volgt. Laten we aannemen dat $x(t)$ de $x$-component van het pad $\vec{x}(t)$ is dat de integraal een extreme waarde geeft. Per definitie van een extreme waarde zal elke kleine afwijking van dit pad, $\delta x \ll x$, de actie $S$ een extra bijdrage geven, $\delta S$, die gelijk dient te zijn aan nul. We willen dus op zoek naar het pad $x(t)$ waarvoor geldt

$$S + \delta S = \int_{t_1}^{t_2} \left\{ L(x(t)+\delta x(t),v(t)+ \delta v(t) ) \right\} dt,$$ (29)

waarin

$$\delta S = 0.$$ (30)

Aangezien $\delta x$ klein is, kunnen we de Lagrangiaan benaderen door¹⁶

$$L(x(t)+\delta x(t),v(t)+\delta v(t)) \approx L(x(t),v(t))+ \frac{\partial L} {\partial x}\delta x + \frac{\partial L}{\partial v}\delta v.$$ (31)

Wanneer we dit invullen in vergelijking (29) vinden we de actie $S$ terug plus een extra term, die we kunnen identificeren als $\delta S$,

$$\delta S \equiv \int_{t_1}^{t_2} \left\{ \frac{\partial L}{\partial x}\delta x + \frac{\partial L}{\partial v}\delta v \right\}dt.$$ (32)

Deze uitdrukking hoort gelijk te zijn aan nul. Nadat we een partiële integratie¹⁷ doen op de tweede term van de integrand, wordt gevonden

$$\delta S = \int_{t_1}^{t_2} \left\{ \frac{\partial L}{\partial x}... ...} \delta x(t)dt + \frac{\partial L}{\partial v} \delta x(t)\vert _{t_1}^{t_2}.$$ (33)

De afwijking $\delta x(t)$ mag in principe elke mogelijke functie zijn, mits maar geldt dat zij nul is op het begin en eind van het proces. Er geldt dan ook $\delta x(t_1) = 0$ en $\delta x(t_2) = 0$, en hiermee volgt dat de laatste term in vergelijking (33) gelijk is aan nul. De overgebleven integraal zal in het algemeen gelijk kunnen zijn aan nul voor specifieke functies $\delta x(t)$; echter, de eis is dat deze integraal nul is voor elke mogelijke afwijking $\delta x(t)$ van het pad $x(t)$, en dit kan alleen wanneer alles tussen de gekrulde haken gelijk is aan nul. Deze eis levert dan precies vergelijking (28), voor de $x$-component (waarvoor geldt $i=1$) van het gezochte pad. Voor de twee andere plaatscoördinaten van dit pad, $y(t), z(t)$ kan deze afleiding ook gebruikt worden en geldt dezelfde uitkomst.
Wanneer de vergelijkingen van Euler-Lagrange toegepast wordt op de huidige Lagrangiaan, vinden we

$$-\frac{\partial V}{ \partial x^i} = m \frac{dv^i}{dt}.$$ (34)

De linkerkant van deze vergelijkingen herkennen we als de kracht $F^i$ in de $i$-richting, terwijl de rechterkant precies gelijk is aan $m \frac{d^2 x^i}{dt^2}$. We kunnen deze drie uitkomsten samen nemen in een enkele vectorvergelijking,

$$m \frac{d^2 \vec{x}(t)}{dt^2} = \vec{F},$$ (35)

wat precies de wet van Newton is. Zoals aangekondigd volgt deze inderdaad uit het principe van extreme actie.

Het Lagrangiaanse formalisme kan ook gebruikt worden om de impuls van een deeltje te bepalen. De impuls volgt uit de Lagrangiaan als

$$p_i = \frac{\partial L}{\partial v^i},$$ (36)

wat voor de huidige Lagrangiaan de gebruikelijke uitdrukking voor de impuls van een deeltje oplevert

$$\vec{p} = m\vec{v}.$$ (37)