Riemannse meetkunde

De tweede belangrijke stap in de ontwikkeling van de differentiaalmeetkunde werd gezet door B. Riemann (1826 - 1866) in een colloqium, gehouden op 10 juni 1854, voor de filosofische faculteit van de universiteit van Göttingen, waarvan de titel luidde `Ueber die hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen'. Hierin gaf hij aan hoe een twee-dimensionaal gekromd oppervlak kan worden gegeneraliseerd tot `eind n fach ausgedehnte Mänigfaltigkeit' en bovendien introduceerde hij een afstandsbegrip voor de $n$-dimensionale ruimte (riemannse meetkunde). De `n fach ausgedehnte Mänigfaltigkeit' is wat tegenwoordig een $n$-dimensionale differentieerbare variëteit wordt genoemd.

De generalisatie is als volgt: Gauss beschreef de punten van een twee-dimensionaal oppervlak met behulp van een tweetal reële coördinaten $(u,v)\equiv (x^1, x^2)$. Riemann beschreef de punten van een $n$-dimensionale differentieerbare variëteit met behulp van reële coördinaten $(x^1,x^2,...,x^n)$. Bij Gauss is de afstand tussen twee infinitesimaal verwijderde punten

$$(ds)^2 = \sum_{i,j=1}^{2} g_{ij} (x^1,x^2)dx^idx^j$$ (425)

en bij Riemann wordt dit gegeneraliseerd tot

$$(ds)^2 = \sum_{i,j=1}^{n} g_{ij} (x^1,...,x^n)dx^idx^j .$$ (426)

De afstand tussen twee punten op een kromme $\gamma \equiv x^i = x^i(\lambda) ~~~(i=1,2,...,n)$ in een $n$-dimensionale ruimte wordt hiermee gegeneraliseerd tot (zie vergelijking (423)

$$s_\lambda = \int_{\lambda_A}^{\lambda_B} \sqrt{ \sum_{i,j=1}^{n} g_{ij} (x^1,..., x^n) {dx^i \over d\lambda}{dx^j \over d\lambda} } d\lambda .$$ (427)

Een kromme heet weer een geodeet als $s_\gamma$ extremaal is. In het bijzondere geval van een euclidische ruimte geldt $g_{ij} = \delta_{ij}$, zodat vergelijking (433) overgaat in

$$s_\lambda = \int_{\lambda_A}^{\lambda_B} \sqrt{ \sum_{i=1}^{n} \left( {dx^i \over d\lambda} \right)^2 } d\lambda .$$ (428)

Als $\gamma$ een rechte lijn is⁷¹, krijgt men

$$s_\lambda^2 = \sum_{i=1}^{n} \left( {dx^i \over d\lambda} \right)... ... \lambda_B - \lambda_A \right)^2 = \sum_{i=1}^{n} \left( B^i - A^i \right)^2 .$$ (429)

Dit is de stelling van Pythagoras voor een $n$-dimensionale ruimte.

Een verdere belangrijke bijdrage van Riemann is zijn generalisatie van de kromming van Gauss tot een $n$-dimensionale ruimte: de krommingstensor van Riemann. De krommingstensor speelt een uitermate belangrijke rol in Einstein's gravitatietheorie.