Niet-euclidische meetkunde

Uit brieven blijkt dat C.F. Gauss (1777 - 1855) al in 1824 een vergaand inzicht in de niet-euclidische meetkunde had. Hij maakte dit echter niet publiek omdat hij hiervan teveel opschudding verwachtte. De niet-euclidische meetkunde werd ook onafhankelijk door J. Bolyai (1802 - 1860) en N.I. Lobachevski (1793 - 1856) geformuleerd.

Figuur 57: De raakvector in een punt van een kromme. Voor $\Delta \lambda \rightarrow 0$ naders ${\Delta \vec r \over \Delta \lambda}$ tot de raakvector.

Fig. 57 toont dat een kromme is voor te stellen door de vergelijking $\vec r = \vec r(\lambda )$, met $\lambda$ de parameter van de kromme. Voor de componenten $(x,y,z)$ van de vector $\vec r$ geldt $x = x(\lambda )$, $y = y(\lambda )$ en $z = z(\lambda )$. Een raakvector aan de kromme wordt gegeven door

$${d\vec r \over d\lambda} = \lim_{\Delta \lambda \rightarrow 0} {\vec r(\lambda + \Delta \lambda ) - \vec r (\lambda ) \over \Delta \lambda}.$$ (400)

De booglengte langs de kromme tussen de punten $\vec r(\lambda_1)$ en $\vec r(\lambda_2)$ wordt gegeven door

$$s \equiv \int_{\vec r(\lambda_1)}^{\vec r(\lambda_2)} \left\vert ... ...bda_2} \sqrt{ {d\vec r \over d\lambda}\cdot{d\vec r \over d\lambda}} d\lambda .$$ (401)

De booglengte $s$ tot een vast punt op de kromme is ook te gebruiken als parameter in plaats van $\lambda$, immer $s = s(\lambda )$. Men schrijft $\vec r = \vec r(s)$, en de raakvector is dan

$$\vec t \equiv {d\vec r \over ds}.$$ (402)

Merk op dat dit een eenheidsvector is, $\vec t \cdot \vec t = {d\vec r \over ds} \cdot {d\vec r \over ds} =1$, omdat $(ds)^2 = d\vec r \cdot d\vec r$. Uit $\vec t \cdot \vec t = 1$ volgt door differentiatie naar $s$, dat $\vec t \cdot \dot{\vec t} = 0$, zodat $\dot{\vec t} = {d\vec t \over ds}$ loodrecht op $\vec t$, dus op de raaklijn staat. De hoofdnormaal $\vec n$ is per definitie de eenheidsvector in de richting van $\dot{\vec t}$, dus

$$\dot{\vec t} = \kappa \vec n~~~~~~~~~~{\rm met~\kappa = \kappa (s)}.$$ (403)

Uit het bovenstaande volgt $\vec t \cdot \vec n = 0$ en uit vergelijking (409) met $\vec n^2 = 1$, dat $\kappa = \left\vert \dot{\vec t} \right\vert$, waarbij $\kappa$ de kromming van de curve is. Tenslotte wordt de binormaal $\vec b$ gedefinieerd door

$$\vec b = \vec t \times \vec n .$$ (404)

Figuur: Meebewegend orthonormaal coördinatenstelsel $\{\vec t, \vec n, \vec b\}$ van een kromme. De triade bestaat uit de tangentvector $\vec t$, de normaalvector $\vec n$ en de binormaalvector $\vec b$.

Fig. 58 toont dat in ieder punt $\vec r(s)$ van de kromme er nu een drietal vectoren $\vec t, \vec n, \vec b$ bestaat. Dit stelsel heet de meebewegende triade. Ze vormen een orthonormaal stelsel.

Uit vergelijking ( $\ref{eq:bpunt}$) volgt $\vec b \cdot \vec t = 0$. Differentiatie naar $s$ geeft, met vergelijkingen ( $\ref{eq:tpunt}$) en ( $\ref{eq:bpunt}$)

$$0 = \dot{\vec b} \cdot \vec t + \vec b \cdot \dot{\vec t} = \dot{\vec b} \cdot \vec t + \kappa \vec b \cdot \vec n = \dot{\vec b} \cdot \vec t .$$ (405)

Uit $\vec b \cdot \vec b = 1$ volgt $\dot{\vec b} \cdot \vec b = 0$ en we zien dat $\dot{\vec b}$ parallel is aan vector $\vec n$. Men definieert $\tau = \tau (s)$ met $\dot{\vec b} = -\tau \vec n$, waarbij $\tau$ de torsie van de kromme wordt genoemd. Tenslotte volgt uit $\vec n = \vec b \times \vec t$ dat

$$\dot{\vec n} = \dot{\vec b} \times \vec t + \vec b \times \dot{\v... ...c n \times \vec t + \kappa \vec b \times \vec n = \tau \vec b - \kappa \vec t .$$ (406)

Samenvattend geldt

$$\begin{array}{ccccc} \dot{\vec t} & = & & \kappa \vec n & \\... ...vec b \\ \dot{\vec b} & = & & -\tau \vec n & \\ \end{array}$$ (407)

en dit zijn de formules van Frenet (1847) en Serret (1850). Een gevolg hiervan is dat bij gegeven kromming en torsie door integratie van deze eerste-orde differentiaalvergelijkingen de kromme op een verplaatsing na (integratieconstanten) vastligt.

Figuur 59: Kromme door punt $P$ in het oppervlak $\Sigma$. Beschouw alle krommen door $P$. De verzameling van alle raakvectoren in $P$ van al deze krommen vormt de tangentenvectorruimte $T_P$.

Vervolgens beschouwen we gebogen oppervlakken in $E^3$. In de tijd voor Gauss werd een gebogen oppervlak voorgesteld door $z = f(x,y)$ of $w(x,y,z) = 0$. In het bijzonder kan men krommen in een dergelijk oppervlak beschouwen en voor deze krommen kan men uiteraard de bovenstaande begrippen invoeren. Fig. 59 toont dat $\gamma$ een kromme in het oppervlak $\Sigma$ is met $P$ een punt op $\gamma$. Dan heeft $\gamma$ een raakvector ${d\vec r \over d\lambda}$ in het punt $P$. Beschouw nu alle mogelijke krommen in $\Sigma$ door $P$, dan vormt de verzameling van alle bijbehorende raakvectoren ${d\vec r \over d\lambda}$ een twee-dimensionale vectorruimte $T_P$, de raakvectorruimte, tangentenvectorruimte of raakvlak genoemd. De normaal $\vec n$ in $P$ op het oppervlak $\Sigma$ is de eenheidsvector in $P$ loodrecht op $T_P$. Het volgende resultaat was reeds vóór Gauss bekend.

Figuur 60: Door $P$ gaat een vlak $X$ dat normaalvector $\vec n$ bevat. Het vlak $X$ snijdt gebogen oppervlak $\Sigma$ langs curve $\gamma$. De eenheidsvector $\vec t$ is tangentiaal aan $\gamma$ en geeft de richting van deze snede. De vector $\vec t$ ligt in het tangentenvlak $T_P$.

Stelling van Euler (1760): Zij $P$ een punt van het oppervlak $\Sigma$ en zij $\vec n$ de normaal in $P$ op $\Sigma$ (zie Fig. 60). Zij $X$ een vlak door $\vec n$ en zij $\gamma$ de doorsnijding van $X$ en $\Sigma$ (dit is een kromme) en laat $\kappa$ de kromming van $\gamma$ in $P$ zijn. Dan bestaat er een vlak $X_1$ (respectievelijk $X_2$) door $\vec n$ waarvoor $\kappa_\gamma$ maximaal (respectievelijk minimaal) is en men noemt deze kromming dan $\kappa_1$ (respectievelijk $\kappa_2$). Als het vlak $X$ een hoek $\theta$ maakt met $X_1$, dan geldt

$$\kappa_\gamma = \kappa_1 \cos^2{\theta} + \kappa_2 \sin^2{\theta} .$$ (408)

De krommingen $\kappa_1$ en $\kappa_2$ heten de hoofdkrommingen. Fig. 61 geeft een beeld van de kromming van ruimte met negatieve kromming (dit lijkt op een zadeloppervlak).

Figuur 61: Schets van een gebogen oppervlak waarbij de vlakken met hoofdkrommingen zijn aangegeven, evenals het tangentenvlak.

De theorie van de gebogen oppervlakken werd aanzienlijk verder ontwikkeld door C.F. Gauss in zijn artikel `Disquisitiones generales circa superficies curvas' uit 1827. Gauss beschreef hierin een oppervlak met behulp van de parametervoorstelling $x = x(u,v)$, $y=y(u,v)$ en $z=z(u,v)$ of samengevat $\vec r = \vec r (u,v)$ en zoals Fig. 62 toont ontstaan hiermee op het oppervlak krommen $u = {\rm constant}$ en $v={\rm constant}$. We benadrukken dat een punt op het oppervlak $\Sigma$ wordt vastgelegd door twee reële parameters $u$ en $v$, namelijk $\vec r = \vec r (u,v)$.

Figuur 62: Coördinaten van Gauss voor de beschrijving van een gebogen oppervlak.

Een kromme $\vec r = \vec r(\lambda )$ in het oppervlak $\Sigma$ is dus ook te geven door een parametervoorstelling $u = u(\lambda )$ en $v=v(\lambda )$. De afstand $ds$ tussen twee infinitesimaal van elkaar verwijderde punten $\vec r(u,v)$ en $\vec r(u+du, v+dv)$ wordt gegeven door $(ds)^2 = d\vec r \cdot d\vec r$ met

$$d\vec r = \vec r(u+du, v+dv) - \vec r(u,v) = {\partial \vec r \ov... ...ial u} du +{\partial \vec r \over \partial v} dv = \vec r_u du + \vec r_v dv .$$ (409)

We vinden hiermee voor de afstand

$$(ds)^2 = \left( \vec r_u du + \vec r_v dv \right) \cdot \left( \v... ...c r_u (du)^2 + 2\vec r_u \cdot \vec r_v du dv + \vec r_v \cdot \vec r_v (dv)^2.$$ (410)

Met de traditionele afkortingen $E \equiv \vec r_u \cdot \vec r_u$, $F \equiv \vec r_u \cdot \vec r_v$ en $G \equiv \vec r_v \cdot \vec r_v$ vinden we

$$(ds)^2 = E(du)^2 + 2Fdudv +G(dv)^2,$$ (411)

met $E$, $F$ en $G$ functies van $u$ en $v$. Deze kwadratische vorm voor $(ds)^2$ heet de eerste fundamentaalvorm of de metriek. Als het oppervlak $\Sigma$ een plat vlak is dan geldt bijvoorbeeld

$$(ds)^2 = (dx)^2 + (dy)^2 = (dr)^2 + r^2(d\phi )^2,$$ (412)

naar gelang men voor $(u,v)$ cartesische coördinaten of poolcoördinaten kiest. Tegenwoordig noteert men voor $(u,v)$ ook wel $(x^1, x^2)$, dus

$$(ds)^2 = \sum_{i,j=1}^{2} g_{ij} dx^idx^j,~~~~~~~~g_{ij}=g_{i,j}(x^1,x^2),$$ (413)

met

$$g_{11}(x^1,x^2) \equiv E(x^1,x^2)=\vec e_1 \cdot \vec e_1, ~~ g_... ...\vec e_1 \cdot \vec e_2, ~~{\rm en}~~ g_{22} \equiv G=\vec e_2 \cdot \vec e_2,$$ (414)

waarbij $\vec e_1 \equiv {\partial \vec r \over \partial x^1} = \vec r_u$ de raakvector aan de coördinaatlijn $x^2 = {\rm constant}$ en $\vec e_2 \equiv {\partial \vec r \over \partial x^2} = \vec r_v$ de raakvector aan de coördinaatlijn $x^1 = {\rm constant}$ is. Dus $g_{ij}=\vec e_i \cdot \vec e_j = g_{ji}$. De vectoren $\vec e_1$ en $\vec e_2$ vormen een basis van de twee-dimensionale raakvectorruimte in $\vec r = \vec r (u,v)$ aan $\Sigma$. Iedere raakvector in dit punt is een lineaire combinatie van $\vec e_1$ en $\vec e_2$,

$$\vec a = \sum_{i=1}^{2} a^i \vec e_i~~~~~{\rm en~ook}~~~~~ \vec b = \sum_{i=1}^{2} b^i \vec e_i .$$ (415)

Voor het inproduct in de raakvectorruimte geldt

$$\vec a \cdot \vec b = \sum_{i=1}^{2} a^i \vec e_i \cdot \sum_{j=1... ...cdot \vec e_1 + a^2b^2\vec e_2 \cdot \vec e_2 = \sum_{i,j=1}^{2} g_{ij} a^ib^j.$$ (416)

Zij $\gamma$ een kromme in het oppervlak $\Sigma$ en laat $A$ en $B$ twee punten op $\gamma$ zijn, dan definieert men de booglengte $s_\gamma$ langs $\gamma$ tussen $A$ en $B$ als $s_\gamma = \int_{A}^{B} ds$. Als de kromme $\gamma$ wordt voorgesteld door $u = u(\lambda )$ en $v=v(\lambda )$, dan volgt in verband met $ds = {ds \over d\lambda}d\lambda$ dat

$$s_\lambda = \int_{\lambda_A}^{\lambda_B} \sqrt{ E \left( {du \ove... ...^{2} g_{ij} (x^1, x^2) {dx^i \over d\lambda}{dx^j \over d\lambda} } d\lambda .$$ (417)

Laat $A$ en $B$ twee punten van het oppervlak $\Sigma$ zijn, dan is de geodeet door $A$ en $B$ die kromme $\gamma$ in $\Sigma$ waarvoor de booglengte $s_\gamma$ tussen $A$ en $B$ minimaal (of extremaal) is. In het euclidische vlak is een rechte een geodeet en omgekeerd. Op de bol is een grote cirkel (dit is een cirkel waarvan het vlak door het middelpunt van de bol gaat) een geodeet en omgekeerd. Merk op dat de intrinsieke meetkunde van het oppervlak, dat is de meetkunde van twee-dimensionale wezens die in het oppervlak leven en die geen weet hebben van de drie-dimensionale ruimte, geheel bepaald wordt door de metriek $(ds)^2$. De hoofdkrommingen $\kappa_1$ en $\kappa_2$ van een punt $P$ in $\Sigma$ zijn intrinsieke eigenschappen van het oppervlak. Dit is eenvoudig in te zien aan de hand van het volgende voorbeeld. Voor een plat vlak (bijvoorbeeld een vel papier) geldt $\kappa_1 = \kappa_2 = 0$ en $(ds)^2=(dx)^2 + (dy)^2$. Als het vel papier tot een cylinder wordt gevouwen, dan gebeurt er niets met de metriek, maar $\kappa_2$ wordt ongelijk aan nul. Het opmerkelijke is nu, dat er een combinatie van $\kappa_1$ en $\kappa_2$ bestaat die ongewijzigd blijft bij het vouwen van het papier. Dit is de gausskromming.

Theorema egregium van Gauss: De gausskromming $\kappa \equiv \kappa_1\kappa_2$ is een intrinsieke grootheid, dit wil zeggen geheel bepaald door de metriek, namelijk

$$\kappa = -{1 \over 4W^4} \left\vert \begin{array}{ccc} E & E_u ... ...ht) - {\partial \over \partial u} \left( {F_v - G_u \over W} \right) \right\} ,$$ (418)

met $W \equiv \sqrt{ EG - F^2}$.

Merk op dat $\kappa$ slechts afhangt van de metriek via $E$, $F$ en $G$ en eerste en tweede orde afgeleiden hiervan, waardoor $\kappa$ inderdaad een intrinsieke grootheid is. De hoofdkrommingen hangen bovendien nog af van de wijze waarop het oppervlak is ingebed in de drie-dimensionale ruimte. De gausskromming is een functie van $u$ en $v$, $\kappa = \kappa (u,v)$. Oppervlakken van constante kromming zijn oppervlakken waarvoor $\kappa (u,v) = {\rm constant}$. Hiervan bestaan drie typen, namelijk

1. het sferische vlak (eenheidsbol) met metriek

   $$(ds)^2 = (du)^2 + \sin^2{u}(dv)^2~~~~~{\rm met}~~~~~\kappa = +1;$$ (419)

   
   

2. het euclidische vlak (in poolcoördinaten) met metriek

   $$(ds)^2 = (du)^2 + u^2(dv)^2~~~~~{\rm met}~~~~~\kappa = 0;$$ (420)

   
   

3. het hyperbolische vlak met metriek

   $$(ds)^2 = (du)^2 + \sinh^2{u}(dv)^2~~~~~{\rm met}~~~~~\kappa = -1.$$ (421)

   
   

Het laatste geval is de niet-euclidische meetkunde van Gauss-Lobachevski-Bolyai.

In het volgende beschouwen we een infinitesimaal parallellogram in $\Sigma$ (zie Fig. 63).

Figuur 63: Een infinitesimaal parallellogram in een gebogen oppervlak.

De zijden $\vec r_udu$ en $\vec r_vdv$ resulteren in een oppervlakte $d\sigma = \left\vert \vec r_ \times \vec r_v \right\vert du dv$. Merk op dat $\left\vert \vec a \times \vec b \right\vert^2 = a^2b^2 - (\vec a \cdot \vec b)^2$ omdat $\sin^2{\chi} + \cos^2{\chi} = 1$. Dus volgt

$$d\sigma = \sqrt{EG - F^2} dudv.$$ (422)

De stelling uit de euclidische meetkunde die zegt dat de som van de hoeken van een driehoek $\pi$ is kan nu worden gegeneraliseerd. Een driehoek in het oppervlak $\Sigma$ is een drietal punten $A$, $B$ en $C$ in $\Sigma$ verbonden door de geodeten tussen puntenparen (zie Fig. 64).

Figuur 64: Een geodetendriehoek.

Laat $\vec t_1$ en $\vec t_2$ eenheidsraakvectoren in $A$ zijn aan de twee geodeten (de zijden $AB$ en $AC$ van de geodetendriehoek) door $A$, dan is de hoek $\alpha$ gedefinieerd met behulp van

$$\cos{\alpha} = \vec t_1 \cdot \vec t_2 = \sum_{i,j=1}^{2} g_{ij} t_1^i t_2^j.$$ (423)

Voor $B$ en $C$ analoog. Dan geldt

$$\alpha + \beta + \gamma -\pi = \int \kappa d\sigma ,$$ (424)

waarbij de integraal over het oppervlak van de geodetendriehoek wordt uitgevoerd en $\kappa$ de gausskromming is. In het bijzondere geval van een oppervlak met constante kromming geldt $\alpha + \beta + \gamma - \pi = \kappa \Delta$, waarin $\Delta$ het oppervlak van de driehoek is; voor $\kappa = 0$ wordt inderdaad het resultaat uit de euclidische meetkunde teruggevonden.