Appendix - Meetkunde

Het begrip differentieerbare variëteit komt voort uit het werk van Gauss en Riemann. In de `Elementen' van Euclides wordt de meetkunde opgebouwd uitgaande van postulaten en axioma's. Eén van deze postulaten, het vijfde, lijkt minder vanzelfsprekend dan de overige, en men heeft in de loop der eeuwen gepoogd dit postulaat te bewijzen met behulp van de andere postulaten. Het vijfde postulaat stelt het volgende: laat $l_1$ en $l_2$ rechten zijn die de rechte $l$ snijden met hoeken $\beta$ en $\alpha$, dan impliceert $\alpha + \beta < 180^\circ$ dat $l_1$ en $l_2$ elkaar snijden, aan die kant van de rechte $l$ waar ook de hoeken $\beta$ en $\alpha$ liggen. Er is een aantal equivalente formuleringen van het vijfde postulaat. Twee ervan luiden als volgt:

• Door een punt $P$ buiten een rechte $l$ is precies één rechte te trekken die $l$ niet snijdt (parallellenpostulaat).
• De som van de hoeken van een driehoek is $180^\circ$.

De pogingen om het parallellenpostulaat te bewijzen uit de overige faalden alle en gaandeweg kwam met tot het inzicht dat meetkunde waarbij het parallellenpostulaat niet geldig is tot de logische mogelijkheden behoort. Een dergelijke meetkunde heet een niet-euclidische meetkunde.