Footnotes

Of die slechts in experimenten voorkwamen, die niet door andere experimentatoren herhaald konden worden!

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... hebben ²

Het zal duidelijk zijn dat niet alle theoretici `enthousiast zijn' over deze gepostuleerde deeltjes. Verder is het onduidelijk of het mogelijk is met tachyonen een signaal (informatie) over te brengen - iets dat in conflict zou zijn met de speciale relativiteitstheorie.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... belang ³

en soms ook het magnetische moment, bijvoorbeeld in de hyperfijnwisselwerking.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... Tegenwoordig ⁴

We verwaarlozen hier subtiliteiten als bijvoorbeeld de virtuele mesonen in het binnenste van de kern.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... antineutrino ⁵

Een eenvoudige quantummechanische berekening laat zien, dat er teveel energie voor nodig is om een elektron te binden binnen het volume van een kern.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... worden ⁶

De quantumgetallen karakteriseren een bepaalde toestand van een systeem van deeltjes. Ze zijn constant (men zegt behouden) zolang het systeem ongestoord is. Quantumgetallen hebben te maken met behoudswetten. Een voorbeeld is de wet van behoud van lading. Een uitzondering hierbij is de spin, want enkel het totale impulsmoment is behouden: spin en baanimpulsmoment. Verder zijn sommige behoudswetten niet altijd strikt geldig: zoals de wet van behoud van vreemdheid.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... uitgevoerd ⁷

Hij ontving hiervoor in 1936 de Nobelprijs voor de natuurkunde; hij was toen 31 jaar oud. Een jaar later ontdekte hij het muon.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... leptonen ⁸

Oorspronkelijk werden de deeltjes ingedeeld aan de hand van de massa: de lichte deeltjes ofwel leptonen ( $e, \nu$ ) met

MeV, de middelzware deeltjes ofwel mesonen met $mc^2 \approx 100$ MeV en de zware deeltjes ofwel baryonen met

GeV. Deze klassificatie is echter niet zinvol: de muonen ( $\mu$ ) en de tau's ( $\tau$ ) gedragen zich analoog aan het elektron, ondanks dat ze een geheel verschillende massa hebben.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... behoudswetten ⁹

We kunnen dit ook anders formuleren: indien de lading (of bijvoorbeeld het baryongetal) strikt behouden is, dan kan het lichtste geladen deeltje, het elektron (of bijvoorbeeld het lichtste baryon, het proton) niet vervallen.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... down-quarks ¹⁰

We verwaarlozen voorlopig het feit, dat in het nucleon ook een (omstreden) hoeveelheid

, $\bar s$ en andere quarks bijgemengd zijn. Ook worden de drie `kleuren' van de quarks pas later besproken.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... wisselwerking ¹¹

Gedurende de laatste jaren was er regelmatig sprake van een zogenaamde vijfde kracht, die als een modificatie van de gravitatiepotentiaal ingevoerd werd:

$\begin{displaymath} V_{\rm grav} = -g_{\rm grav} {m_1 m_2 \over r_{12}}(1 - \alpha e^{-{r \over \lambda}}). \end{displaymath}$

(7)

Een heranalyse door Fischbach (1986) van de oude data van Eötvos resulteerde aanvankelijk in $\alpha \approx 7 \times 10^{-3}$ en $\lambda \approx 100 - 1000$ m. Fischbach's publicatie gaf aanleiding tot een serie nieuwe experimenten (waaronder zeer geraffineerde metingen met torsieslingers), die aanvankelijk ook aanwijzingen gaven voor het bestaan van zo'n vijfde kracht met een middellange reikwijdte. Op dit moment (1998) is men bezig met een nieuwe reeks zorgvuldige experimenten en de voorlopige resultaten duiden erop dat de effecten te verklaren zijn, zonder dat een additionele wisselwerking ingevoerd dient te worden.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... kernkracht ¹²

Teneinde verwarring te voorkomen zullen we in het vervolg spreken over de kernkracht, als we de wisselwerking van baryonen en mesonen bedoelen en daarbij hun inwendige structuur, welke bij lage energieën niet van belang is, verwaarlozen. Daarentegen bedoelen we met de sterke wisselwerking die krachten, die tussen de quarks werkzaam zijn.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... gekarakteriseerd ¹³

De zwakke wisselwerking schendt bijvoorbeeld, zoals we later nog uitvoerig zullen bespreken, de pariteit ofwel spiegelsymmetrie.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... ook ¹⁴

Na enkele dwalingen, want aanvankelijk werden in 1937 muonen ontdekt door Carl Anderson en Neddermayer in experimenten met kosmische straling. Muonen hebben echter totaal niets te maken met de sterke wisselwerking.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... $\Delta t$ ¹⁵

Omdat de energie op tijd teruggegeven dient te worden, de wet van behoud van energie is immers geschonden, noemt men zo'n deeltje een virtueel deeltje. Het kan niet worden waargenomen.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... gravitatie ¹⁶

Uiteraard hebben we het nu niet over de complicaties die voortvloeien uit de algemene relativiteitstheorie.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... worden ¹⁷

We zullen later dieper ingaan op al deze eigenschappen van de kernkracht.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... bosonen ¹⁸

Wolfgang Pauli, Physical Review 58 (1940) 716.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... verstrooiingstheorie ¹⁹

Het zal duidelijk zijn dat voor een volledige discussie relativistische kinematica, quantum mechanica, en in het algemene geval, van creatie en annihililatie van deeltjes, ook quantumveldentheorie vereist is.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... algemeen ²⁰

Een uitzondering vormen de experimenten met neutronen, die vaak door een kernreactor kunnen worden geproduceerd.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... reactie ²¹

Hoe groter de oppervlakte van het target deeltje, des te gemakkelijker kunnen we het raken; het bundeldeeltje zal dientengevolge worden verstrooid.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... som ²²

In enkele gevallen, namelijk indien de verschillende eindkanalen niet onderscheidbaar zijn, moeten niet de werkzame doorsneden, maar de amplituden voor de verschillende processen opgeteld worden (zogenaamde coherente processen).

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... plaats ²³

In de literatuur vindt men vaak, meestal als het gaat om materiaaleigenschappen en de berekening van afscherming, niet de werkzame doorsnede $\sigma_i$ getabelleerd, maar de macroscopische (partiële) werkzame doorsnede $\Sigma_i \equiv n\sigma_i$ [ m $^{-1}$ ], de verzwakkingcoëfficient $\mu_{\rm totaal} \equiv n\sigma_{\rm totaal} [ m$ ^-1 $], en de {\sl massaverzwakkingsco\uml efficient}$ _ totaal N_A A _ totaal

^-1

N_A = 6.022 136 7(36) 10^23

^-1

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... energie ²⁴

Van belang is natuurlijk in alle gevallen de Galileï-, of de Lorentzinvariante relatieve energie van de reactiepartners. In het niet-relativistische geval zullen we rekenen met $T_{bt}={1 \over 2}m_{bt}(\vec v_b - \vec v_t)^2$ , terwijl we relativistisch, $\sqrt{s} =E_{\rm CM}$ , de totale energie in het zwaartepunt zullen gebruiken. Later zullen we het relativistische correcte verband bespreken tussen het matrixelement $M_{fi}$ , het faseruimte volume, en de werkzame doorsnede, alsook de transformatie van de reactiewaarschijnlijkheden in verschillende systemen.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... volgt ²⁵

Een uitvoerige afleiding kan gevonden worden in bijvoorbeeld M.L. Goldberger and K.M. Watson, Collision Theory, J. Wiley, New York, 1967 (p. 58 ff.). Laat je niet afleiden door het feit dat in veel boeken andere machten van ( $2\pi$ ) gebruikt worden. Het staat iedere auteur vrij om de normering van de golffuncties te kiezen zoals hij/zij belieft. Merk verder op, dat in veel theoretische werken vaak $\hbar = 1$ gebruikt wordt.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... geldt ²⁶

We hebben een dergelijke uitdrukking reeds eerder gebruikt bij de berekening van overgangswaarschijnlijkheden voor deeltjesverval.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... integratie ²⁷

We gebruiken hier $dE = \beta c dp = vdp$ . Deze relatie is ook relativistisch correct.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... is ²⁸

Als de deeltjes spin bezitten dient deze uitdrukking gemodificeerd te worden met statistische spinfactoren.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... is ²⁹

Wat zeker niet altijd geldig is! Enkele belangrijke uitzonderingen zullen we nog bespreken.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... hebben ³⁰

Het matrixelement bevat twee termen, $G_F^2 \vert M_{fi} \vert^2 = G_V^2 M_V^2 + G_A^2 M_A^2$ . Indien $M_V^2 \simeq 1$ , dan hebben we te maken met een zogenaamde Fermi overgang, waarbij de spin niet veranderd ( $\Delta J = 0$ ). Indien $M_A^2 \simeq 3$ , dan spreken we van een Gamow-Teller overgang ( $\Delta J =1$ ), waarbij er drie spin instellingen mogelijk zijn. In neutronverval dragen beide termen bij. De koppelingskonstanten zijn $G_V/(\hbar c)^3 = +1.153\times 10^{-5}$ GeV $^{-2}$ en $G_A/(\hbar c)^3 = -1.454\times 10^{-5}$ GeV $^{-2}$ (dit alles zonder bewijs; zie bijvoorbeeld R.R. Roy and B.P. Nigam, Nuclear Physics, J. Wiley, New York 1967, waar de hele spinalgebra behandeld wordt).

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... verstrooiingstheorie ³¹

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... algemeen ³²

Een uitzondering vormen de experimenten met neutronen, die vaak door een kernreactor kunnen worden geproduceerd.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... reactie ³³

Hoe groter de oppervlakte van het target deeltje, des te gemakkelijker kunnen we het raken; het bundeldeeltje zal dientengevolge worden verstrooid.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... som ³⁴

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... plaats ³⁵

In de literatuur vindt men vaak, meestal als het gaat om materiaaleigenschappen en de berekening van afscherming, niet de werkzame doorsnede $_i _i n_i

^-1 _ totaal n_ totaal [ m $^{-1}$ ], en de massaverzwakkingscoëfficient [ m

kg $^{-1}$ ]. Hierbij is mol $^{-1}$ de constante van Avogadro,

[ kg/kmol ] het atoomgewicht van het target, en $\rho$ [ kg/m

] de dichtheid van het target.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... energie ³⁶

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... volgt ³⁷

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... geldt ³⁸

We hebben een dergelijke uitdrukking reeds eerder gebruikt bij de berekening van overgangswaarschijnlijkheden voor deeltjesverval.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... integratie ³⁹

We gebruiken hier $dE = \beta c dp = vdp$ . Deze relatie is ook relativistisch correct.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... is ⁴⁰

Als de deeltjes spin bezitten dient deze uitdrukking gemodificeerd te worden met statistische spinfactoren.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... is ⁴¹

Wat zeker niet altijd geldig is! Enkele belangrijke uitzonderingen zullen we nog bespreken.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... hebben ⁴²

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... benadering ⁴³

De benadering is goed voor enkele (dus niet overlappende) nauwe resonanties, die niet sterk met het niet-resonante deel van de reactie interfereren.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... enkele ⁴⁴

De ontwerper van een reactor dient dit echter zeker te doen! De Dopplerverbreding van bepaalde resonanties (de verbreding door de thermische beweging van de kernen) draagt wezenlijk bij tot de inherente stabiliteit van een reactor. Verder is de vraagstelling hoe resonanties statistisch verdeeld zijn een interessante.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... inzichten ⁴⁵

Bijvoorbeeld de $J/\psi$ , en de ijkbosonen en

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... deeltjes ⁴⁶

Aangezien er tegenwoordig deeltjesversnellers ter beschikking staan, die deeltjes kunnen produceren met energieën van vele GeV, zou men deze experimenten nu niet meer als `hoge-energie fysica' karakteriseren. De grenzen van de lage-energie kernfysica, medium-energie, en hoge-energie fysica verschuiven in de tijd.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... is ⁴⁷

Het is verbazend dat de uitdrukking van de formule van Rutherford, zoals afgeleid uit de klassieke mechanica, ook geldig blijft voor een quantummechanische beschrijving. Dat is echter enkel het geval omdat . Voor alle andere wisselwerkingen levert de quantummechanische berekening een ander resultaat op dan de klassieke.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... bepalen ⁴⁸

Tegenwoordig weten we, dat de beide botsingspartners naast de ladingswisselwerking ook nog een sterke wisselwerking hebben. Omdat deze slechts een zeer korte dracht heeft ( fm), kunnen we stellen dat .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... direct ⁴⁹

Jammer genoeg volgt uit hetzelfde argument, dat de benodigde deeltjesversnellers des te groter (en dus duurder) worden, als we dieper in het inwendige van deeltjes willen kijken.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... benadering ⁵⁰

De voorwaarden waaronder de Bornse benadering geldig is, worden in het college quantummechanica besproken. Een uitvoerig onderzoek werd uitgevoerd door R. Jost en A. Pais, Phys. Rev. 82 (1951) 840. Een makkelijk te begrijpen voorstelling wordt gegeven door R.J. Taylor, Scattering Theory, J. Wiley, New York (1972). De factor hangt af van de normering van de golffuncties en is niet eenduidig in de literatuur.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... spleet ⁵¹

Voor de verstrooiing aan de scherpe randen van een homogene bol met straal vinden we een minimum voor . De positie van het minimum geeft informatie over de ladingstraal.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... raden ⁵²

De afleidingen zijn te vinden in het boek ` Quarks and Leptons - An Introductory Course in Modern Particle Physics' van F. Halzen en A.D. Martin.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... vormfactoren ⁵³

Behalve voor de ladingsvormfactor van het neutron.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... targets ⁵⁴

De subatomaire fysica groep van de Vrije Universiteit, Amsterdam speelt een leidende rol in dit type experimenten. Behalve aan het neutron wordt er ook gewerkt aan de meting van de vormfactor van het pion.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... doorsnede ⁵⁵

De geïnteresseerde student kan de afleiding weer vinden in in het boek ` Quarks and Leptons - An Introductory Course in Modern Particle Physics' van F. Halzen en A.D. Martin.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... interactie ⁵⁶

We hebben reeds gezien dat de term met te maken heeft met het magnetische moment.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... lichtsnelheid ⁵⁷

De meter is de lengte van het pad dat afgelegd wordt door licht in vacuum gedurende een tijdinterval van 1/299 792 458 seconde. Met deze definitie is de waarde van

exact.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... Lorentztransformatie ⁵⁸

Hierbij is de Einsteinconventie gebruikt, hetgeen impliceert dat er gesommeerd wordt over herhaalde indices.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... gedefinieerd ⁵⁹

De metriek is een wiskundige beschrijving van de manier waarop afstanden in een ruimte worden gemeten. Men kan zich dit eenvoudig voorstellen als een matrix . De afstand tussen twee punten die beschreven worden door de vectoren en is dan (een matrix vermenigvuldiging). Het eenvoudigste voorbeeld is de normale drie-dimensionale ruimte, waarvoor

(151)

en . De lengte van de vector wordt gegeven door . In deze appendix geven we de definitie van de metrische tensor zoals we die in de Speciale Relativiteitstheorie gebruiken. Merk op dat in de Algemene Relativiteitstheorie de metrische tensor bepaald wordt door de veldvergelijking

(152)

waarbij de energie-impuls tensor is, en de Einstein tensor die de kromming van de ruimte beschrijft. De Einstein tensor is opgebouwd uit contracties van de krommingstensor, die een functie is van de metrische tensor en de eerste- en tweede-orde afgeleiden. De veldvergelijking is dus een differentiaal vergelijking voor de metriek .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.