Werkzame Doorsnede

De kinematische aspecten van verstrooiingsexperimenten zijn gelijk voor alle wisselwerkingen. Hier vragen we ons af hoe vaak bepaalde reacties zullen optreden. Als maat voor de waarschijnlijkheid voeren we het begrip werkzame doorsnede in. Zoals we later zullen zien, hangt de werkzame doorsnede af van de sterkte, de dracht, en verdere eigenschappen van de wisselwerking, alsook van de structuur van de reactiepartners. De allereerste experimenten werden uitgevoerd met deeltjes afkomstig van radioactieve bronnen (voornamelijk $\alpha$-straling) en kosmische straling. Tegenwoordig gebruikt men in het algemeen³² versnellers om een deeltjesbundel (primaire bundels: protonen, elektronen; secundaire bundels: pionen, kaonen, zware ionen, enz.) te produceren, die dan op een vast target ( `fixed-target' experimenten) gericht wordt. Teneinde een hoge energie in het zwaartepuntsysteem te verkrijgen, is het voordelig om botsende deeltjesbundels te gebruiken ( `collider' experimenten).

Figure: Schematische weergave van de verstrooiing van een deeltjesbundel aan een trefplaat.

Figuur 27 laat zien dat wanneer een bundel een target, dat $n$ atomen per volumeeenheid (m$^3$) bevat, treft, de waarschijnlijkheid $dP$ dat een reactie optreedt in de dunne laag $dx$ gegeven wordt door (de bundel bestrijkt een oppervlakte $A$)

$$dP={\sigma nAdx \over A}=\sigma ndx.$$ (42)

De door deze vergelijking gedefinieerde grootheid $\sigma$ kan naïef gezien worden als de oppervlakte van het te raken object voor de desbetreffende reactie³³. Het zal blijken dat deze oppervlakte slechts zelden gelijk is aan de geometrische doorsnede van de deelnemende reactiedeeltjes ($b$ en $t$),

(43)

en vaak vele ordes van grootte hiervan verschillend is.

Figure: Totale werkzame doorsnede voor foton verstrooiing aan koolstof en lood als functie van de energie. De bijdragen van individuele processen worden getoond, waarbij $\sigma_{\rm p.e.}$ atomair foto-elektrisch effect (elektron emissie, foton absorptie), $\sigma_{\rm coherent}$ coherente verstrooiing (Rayleigh verstrooiing waarbij het atoom niet wordt geïoniseerd of aangeslagen), $\sigma_{\rm incoherent}$ incoherente verstrooiing (Compton verstrooiing aan een elektron), $\kappa _n$ paar-productie in het veld van de kern, $\kappa _e$ paar-productie in het veld van het elektron, $\sigma_{\rm nuc}$ foto-nucleaire absorptie (in het algemeen gevolgd door emissie van een neutron of een ander deeltje).

Typische kernreacties hebben een werkzame doorsnede van ongeveer

(44)

Dezelfde reactie kan echter, indien men een resonantie aanslaat, ook zo'n 100,000 keer sneller verlopen (dus $\sigma \approx 10^5$ barn). Omgekeerd hebben reacties, waarbij enkel de zwakke wisselwerking een rol speelt (bijvoorbeeld $\bar \nu_e+p \rightarrow e^++n$) werkzame doorsneden die vele ordes van grootte kleiner zijn (in dit voorbeeld $\sigma \approx 10^{-19}$ barn).

Vaak zijn er meerdere reacties gelijktijdig mogelijk. Men definiëert dan voor elk proces een partiële werkzame doorsnede $\sigma_i$. De totale werkzame doorsnede, , is dan de som³⁴ van alle partiële werkzame doorsneden

(45)

Figuur 28 geeft een overzicht van de totale en verschillende partiële werkzame doorsneden voor de reacties en .

Figure: Resonanties in de totale werkzame doorsnede voor de verstrooiing van neutronen aan $^{238}$U. De werkzame doorsnede tussen de resonanties wordt voornamelijk veroorzaakt door elastische verstrooiing.

Heel karakteristiek is de energieafhankelijkheid van de werkzame doorsnede, indien resonanties optreden. Figuur 29 geeft de totale werkzame doorsnede voor de verstrooiing van neutronen aan $^{238}$U.

Indien een bundel met intensiteit $N_0$ (deeltjes/s) een target treft met dikte $d$, dan vermindert de intensiteit volgens

(46)

en er vinden

(47)

reacties van het type i plaats³⁵.

Figure: Schematische voorstelling van de differentiële werkzame doorsnede, voor processen waarbij de hoekverdeling niet isotroop is.

Figuur 30 geeft een schematische voorstelling van de kinematica voor een differentiële werkzame doorsnede. De waarschijnlijkheid dat bijvoorbeeld deeltje 1 uit de reactie

$$b+t \rightarrow 1+2+ .. + n$$ (48)

geëmitteerd wordt in de ruimtehoek $d\Omega_1$, bedraagt

$$dP={d \sigma_i \over d\Omega_1} ndxd\Omega_1.$$ (49)

De differentiële werkzame doorsnede ${d\sigma \over d\Omega}$ is in het algemeen niet enkel een functie van de hoek $\theta_1$, maar ook van de energie³⁶en (bijvoorbeeld in het geval van gepolariseerde deeltjes) de hoek $\phi_1$ (azimuthale hoek of ook de polarisatierichting).

Er geldt

$$\sigma_i=\int\!\!\int {d\sigma_i \over d\Omega_1}\, d \Omega... ...ta_1 d\theta_1 {d\sigma_1(\theta_1 ,\phi_1 ) \over d\Omega_1}.$$ (50)

In het geval dat de werkzame doorsnede isotroop is, geldt

$$\sigma_i = 4\pi{d\sigma_i \over d\Omega}.$$ (51)

Op analoge wijze kunnen we ook meer gecompliceerde werkzame doorsneden definiëren, die soms nodig zijn als er zich meerdere deeltjes in de eindtoestand bevinden. Deze deeltjes kunnen in coïncidentie gemeten worden (dat is meestal het geval in dergelijke experimenten).