Werkzame Doorsneden en Matrixelementen

Uit de quantummechanica volgt³⁷dat de werkzame doorsnede voor de reactie

$$b+t \rightarrow 1+2+ .. + n$$ (52)

berekend kan worden uit het matrixelement $M_{fi}$ voor de overgang van de begintoestand $i$ naar de eindtoestand $f$. Er geldt³⁸

(53)

In bovenstaande vergelijking hebben we weer alle spinfactoren weggelaten. De relatieve snelheid van de deeltjes in de begintoestand wordt aangegeven met $v_i$. We dienen te integreren over alle niet gemeten variabelen.

Figure: Schematische voorstelling van de botsing van een bundel- en een targetdeeltje in het zwaartepuntsysteem.

Ter vereenvoudiging rekenen we met slechts twee deeltjes in de eindtoestand en gebruiken we de niet-relativistische kinematica in het zwaartepuntsysteem (zie figuur 31). Integratie over $d\vec p_2$ geeft

$$d\sigma_{fi} = {1 \over (2\pi \hbar^2)^2 v_i} \int \vert M_{fi} \vert^2 \delta (E_1+E_2-E_b-E_t)~p_1^2~dp_1~d\Omega_1.$$ (54)

Na een verdere integratie³⁹ over $dp_1$ krijgen we

$${d\sigma_{fi} \over d\Omega_1}={1 \over (2\pi\hbar^2)^2} \vert M_{fi} \vert^2 {p_f^2 \over v_iv_f},$$ (55)

waarbij $p_f=p_1=p_2$ de impuls van de eindtoestand is⁴⁰.

Indien we verder even aannemen dat $M_{fi}$ constant is⁴¹, dan kunnen we enkele uitspraken doen over het gedrag van de werkzame doorsnede in de buurt van een drempel. We kunnen drie gevallen onderscheiden.

• $Q=0$, elastische verstrooiing. Omdat $p_f \propto v_f \propto v_i$ is de werkzame doorsnede constant (onafhankelijk van de energie en de verstrooiingshoek).
• $Q>0$, bijvoorbeeld ($n,\gamma )$ reacties. Voor lage energieën zijn de veranderingen in $p_f$ en $v_f$ uiterst klein. De werkzame doorsnede is daarom evenredig met $1/v_i$.
• $Q<0$, bijvoorbeeld in reacties waarbij deeltjes geproduceerd worden. In dit geval is de reactie voor lage energieën verboden. Boven de drempel neemt de werkzame doorsnede snel toe, $\sigma \propto p_f \propto \sqrt{T_i - \vert Q \vert}$ ($T_i$ is de kinetische energie in de begintoestand).

Figure: Verhouding van de werkzame doorsneden voor de productie van twee deeltjes met tegenovergestelde lading in de reactie $e^++e^- \rightarrow e^\pm + X^\mp +Y$ en de werkzame doorsnede voor de productie van $\mu ^+\mu ^-$ paren. Hierbij is $X^\mp$ een geladen lepton of meson en $Y$ symboliseert niet-gedetecteerde neutrale deeltjes. De scherpe toename bij 3.55 GeV is afkomstig van $\tau$-paarproductie.

Figuur 32 toont een voorbeeld van het gedrag van de werkzame doorsnede als functie van de bundelenergie in de buurt van een drempel. Dit wordt gedemonsteerd aan de hand van het proces $e^++e^- \rightarrow \tau^++\tau^-$. De $\tau$ leptonen vervallen via de reacties $\tau^+ \rightarrow e^++\nu_e+\bar \nu_\tau$ of $\tau^+ \rightarrow \mu^++\nu_\mu +\bar \nu_\tau$, en $\tau^- \rightarrow \mu^-+\bar \nu_\mu +\nu_\tau$, of $\tau^- \rightarrow e^-+ \bar \nu_e+ \nu_\tau$. De neutrino's die in het proces worden gecreëerd worden niet gedetecteerd. De drempel voor $\tau^+ \tau^-$ productie, en dus de massa van het $\tau$ lepton, volgt uit de toename van de werkzame doorsnede met toenemende energie in het zwaartepuntsysteem. Het experimentele resultaat voor de drempelwaarde bij $\sqrt{s} =2m_\tau c^2$ impliceert een massa van $m_\tau = 1.777$ GeV/$c^2$.

Als eerste voorbeeld van het gebruik van relatie (112) schatten we de werkzame doorsnede voor de reactie

$$\bar \nu_e +p \rightarrow e^++n.$$ (56)

Hierbij gebruiken we de koppelingsconstante van de zwakke wisselwerking die we reeds vroeger uit deeltjesverval bepaald hebben⁴². Voor een inkomende antineutrino-energie van $E_{\bar \nu_e} \sim 3$ MeV vinden we $p_fc \sim 1$ MeV (de $Q$-waarde van de reactie bedraagt MeV). De werkzame doorsnede bedraagt

Figure: Feynman diagrammen die het verval van het neutron en de reactie $\bar \nu_e+p \rightarrow e^++n$ beschrijven.

Het is duidelijk dat neutron verval en de hierboven besproken reactie nauw met elkaar verbonden zijn. We hebben niets anders gedaan dan dat verband uitbuiten. In de Feynman diagrammen gegeven in figuur 33 voor deze processen, dienen we enkel de richting van het elektron om te keren.

Figure 34: Werkzame doorsnede voor diepinelastische neutrino en antineutrino verstrooiing aan het nucleon.

De werkzame doorsneden voor diepinelastische neutrino en antineutrino verstrooiing aan het nucleon zijn gemeten in het WA1 neutrino experiment op CERN. Vergelijkbare experimenten zijn uitgevoerd op het Fermilaboratorium in Chicago, U.S.A. De resultaten worden getoond in fig. 34. Merk op dat het resultaat van onze berekening (zie uitdrukking (114)) gegeven is voor het zwaartepuntsysteem, terwijl de getoonde data betrekking hebben op het laboratoriumsysteem. Voor voldoende hoge energieën () geldt de benadering en vinden we dat de werkzame doorsnede lineair toeneemt met de energie van de neutrinobundel, in goede overeenstemming met de meetresultaten.