Diffractieve Verstrooiing

Het verstrooien van hadronen aan hadronen kan elastisch of inelastisch verlopen. Verder kunnen we deeltjes uit een kern schieten, en hebben dan te maken met zogenaamde uitstootreacties, zoals en (. Ook is het bijvoorbeeld mogelijk dat een inkomend proton samen met een neutron in de kern een deuteron vormt. Dit wordt de reactie genoemd. De theoretische beschrijving van reacties waarbij de sterke wisselwerking domineert is uitermate gecompliceerd. Ter illustratie bespreken we de verstrooiing van protonen aan kernen en beperken we ons tot het elastische kanaal. Protonen die centraal op een kern botsen zullen, als ze voldoende energie hebben om het kernoppervlak te bereiken, vrijwel altijd door de kern worden geabsorbeerd. Alleen protonen die de rand van de kern raken, hebben een grote kans dat ze na de wisselwerking met de kern hun weg kunnen vervolgen. Het kan zijn dat de wisselwerking alleen de bewegingsrichting van het proton verandert. Het is echter ook goed mogelijk, dat het proton een deel van zijn energie afstaat. We geven beide processen aan met elastische en inelastische verstrooiing.

De differentiële werkzame doorsnede voor protonenverstrooiing wordt dus vooral door de kernrand bepaald. Uit de optica weten we dat verstrooiing van vlakke lichtgolven aan de rand van een `zwart object' een diffractiepatroon geeft. Dat geldt niet alleen voor licht, maar ook voor deeltjes. De experimentele werkzame doorsnede voor elastische verstrooiing van protonen lijkt dan ook op een diffractiepatroon, zoals te zien is in fig. 35.

Figure 35: Differentiële werkzame doorsnede voor elastische verstrooiing van 1050 MeV protonen aan een loodkern.

We benaderen de wisselwerking die door alle kerndeeltjes op het projectiel wordt uitgeoefend met een potentiaal, die uit een reëel deel en een imaginair deel bestaat. Na de verstrooiing aan een reële potentiaal vervolgt het projectiel zijn weg. Het imaginaire deel brengt de kans op absorptie in rekening. De analogie met lichtverstrooiing komt tot uitdrukking in de naam optische potentiaal, die men aan deze complexe potentiaal heeft gegeven.

De potentialen die gebruikt worden om verstrooiing van deeltjes door de sterke wisselwerking te beschrijven zijn in het algemeen fenomenologische potentialen, dit wil zeggen dat de potentiaal is aangepast aan de nucleonverdeling in de kern, zoals bijvoorbeeld de Saxon Wood potentiaal, maar dat ze een groot aantal vrije parameters bevatten, die zó worden gekozen dat ze de experimentele gegevens zo goed mogelijk beschrijven. Door deze complexe potentiaal in te voeren in de Schrödingervergelijking kan men in principe de verstrooiingsamplitude, $M_{fi}$, berekenen. In de praktijk is dit gecompliceerd en kan deze vergelijking enkel worden opgelost door gebruik te maken van numerieke methoden. We zullen hier verder niet op ingaan.

Echter, ook zonder een gedetailleerde beschrijving van dit formalisme kunnen we al het nodige inzicht verkrijgen in de verstrooiingsamplitude voor dit proces. Hiertoe ontwikkelen we de inkomende vlakke golf, die een deeltje met impuls in de richting van de $z$-as representeert, in bolgolven.

(58)

De radiële functies zijn sferische Besselfuncties en is het golfgetal, waarbij geldt dat . De Legendre polynomen zijn evenredig met de sferische harmonische functies . We hebben dus de vlakke golf ontwikkeld in golven met een specifiek impulsmoment. Dit is zinvol omdat de oplossingen van de Schrödingervergelijking ook een bepaalde waarde voor het impulsmoment hebben.

Als deeltjes met een impuls $p$ op een afstand $b$ van het massamiddelpunt van de kern een interactie ondergaan, dan is (semi-klassiek) het relatieve impulsmoment in deze reactie

(59)

ofwel

(60)

Figure 36: Schematische weergave van de impulsoverdracht aan een kern als functie van de botsingsparameter.

Fig. 36 toont dat we het kernoppervlak in zônes kunnen verdelen, zodat met elke zône een bepaalde waarde van het impulsmoment overeenkomt. Deeltjes met een (semi-klassiek) impulsmoment tussen en ondergaan een interactie, waarbij de botsingsparameter . De effectieve werkzame doorsnede voor deze botsingen is . Voor vindt de reactie plaats in de zone , zodat de werkzame doorsnede gelijk is aan . Zo kunnen we verder gaan en we vinden dan in het algemeen dat de werkzame doorsnede voor interacties met impulsmoment tussen en gelijk is aan . De werkzame doorsnede is dan

(61)

waarin het impulsmoment is, dat hoort bij een botsingsparameter die ongeveer gelijk is aan de som van de stralen van het projectiel en de trefplaat. We zien dus dat de kans dat een deeltje elastisch wordt verstrooid of een andere reactie ondergaat, in sterke mate afhangt van de botsingsparameter $b$ en dus van het impulsmoment. Dit kunnen we in rekening brengen door middel van een reflectiecoëfficiënt . Deze coëfficiënten zijn complexe getallen. Voor hebben we enkel elastische verstrooiing, terwijl voor alle deeltjes met impulsmoment verdwijnen.

De kans dat een deeltje met een impulsmoment $l$ een andere reactie dan elastische verstrooiing ondergaat wordt gegeven door

(62)

en de totale werkzame doorsneden voor respectievelijk elastische en inelastische verstrooiing zijn

(63)

De uitdrukking voor elastische verstrooiing is niet zonder meer duidelijk. Om dit resultaat te begrijpen moeten we het gedrag van de inkomende en uitgaande golven op grote afstand van de kern bekijken. Hieruit kan de zogenaamde faseverschuiving voor alle partiële golven worden bepaald. Deze verschuivingen kunnen weer worden uitgedrukt in de reflectiecoëfficiënten . We zullen hier op deze theorie niet verder ingaan.