Kernafmetingen uit Rutherfordverstrooiing

Rond het jaar 1910 werden de eerste experimenten uitgevoerd waarbij hoog-energetische deeltjes⁴⁶werden verstrooid aan de atomen van metaalfolies. De hoogste kinetische energieën, die de fysici toen ter beschikking stonden, werden bepaald door het $\alpha$-verval van natuurlijke radionucleïden en bedroegen MeV.

Figure 45: Schematische voorstelling van de verstrooiing van $\alpha$-deeltjes aan een metaalfolie.

Indien men $\alpha$-deeltjes op een target schiet, dan vinden er vaak botsingen plaats met de elektronen (zie figuur 45a). Vanwege de geringe massa van de elektronen zal een $\alpha$-deeltje slechts over een relatief kleine hoek afgebogen worden. In daartoe geschikte detectoren kunnen we deze terugstoot-elektronen (zogenaamde -elektronen) meten. Deze botsingen interesseren ons echter niet in de volgende discussie.

Het veroorzaakte grote opschudding toen destijds bleek dat er soms gebeurtenissen plaatsvinden, waarbij een $\alpha$-deeltje over een grote hoek (zie figuur 45b) afgebogen of zelfs in achterwaartse richting verstrooid wordt (zie figuur 45c). Figuur 46 toont de relatieve waarschijnlijkheid van zulke (verstrooiings)gebeurtenissen, zoals ze in 1913 door Geiger en Marsden gepubliceerd werden.

Figure 46: Hoekverdeling voor de verstrooiing van geladen deeltjes aan een kern: $T_b = 7.65$ MeV, $Z_b = 2$, $Z_t = 79$.

Uit de data van deze experimenten kon Rutherford afleiden, dat in het inwendige van een atoom een geladen kern zit, die een positieve lading draagt (waarbij het ladingsgetal van het onderzochte target is) en die nagenoeg de hele massa van het atoom in zich herbergt. Het lukte hem verder om bij benadering de grootte van enkele kernen te bepalen. In het volgende proberen we zijn gedachtengang weer te geven (maar in moderne notatie en beperkt tot de essentiële zaken).

Figure 47: Schematische voorstelling van de verstrooiing van een $\alpha$-deeltje aan een goudfolie. In punt A heeft het deeltje de kleinste afstand, $b$, tot de kern en wordt de kinetische energie gegeven door $T$.

We nemen eerst aan dat een kern oneindig zwaar is (vergeleken met de massa van het $\alpha$-deeltje) en bij de botsing in rust blijft. Figuur 47 toont een klassieke voorstelling waarbij een geladen deeltje met een impuls , kinetische energie , met een ` botsingsparameter' op een kern wordt geschoten. Onder de aanname dat de wisselwerking tussen het $\alpha$-deeltje en de kern door de Coulombpotentiaal

is gegeven (we praten later over afwijkingen hiervan), krijgen we uit de klassieke mechanica de volgende relaties

(72)

Het $\alpha$-deeltje beweegt op een hyperbool, waarbij $b$ de kleinste afstand is tot het verstrooiingscentrum (de zogenaamde apsidenafstand). De energie en impuls van het deeltje op punt A zijn respectievelijk $p$ en $T$. Hiermee kan de verstrooiingshoek berekend worden uit de botsingsparameter $b$ - die helaas onbekend is! Van wezenlijk belang is echter dat de waarschijnlijkheid dat het $\alpha$-deeltje verstrooid wordt over een hoek , dus de differentiële werkzame doorsnede ${d\sigma \over d\Omega}$ gemakkelijk berekend kan worden.

De oppervlakte van het doelwit, , voor een botsing met een botsingsparameter tussen en is gelijk aan de oppervlakte van de bijbehorende circelvormige ring

(73)

Voor het ruimtehoek element schrijven we

(74)

Hiermee vinden we de beroemde verstrooiingsformule van Rutherford

(75)

Daadwerkelijk levert deze betrekking een uitstekende beschrijving voor alle energieën , alle targetladingen en alle verstrooiingshoeken , indien het $\alpha$-deeltje en de kern elkaar niet te dicht naderen.

Wat betekent `niet te dicht' naderen? We kunnen niet verwachten dat de formule van Rutherford nog geldig is wanneer vergelijking (128) niet meer juist is⁴⁷. Dat is zeker het geval, indien de deeltjes elkaar raken of doordringen. Er moet dus gelden

(76)

Na enkele triviale herschrijvingen krijgen we

(77)

Figure 48: Elastische verstrooiing van $\alpha$-deeltjes aan verschillende kernen. Links: als functie van de verstrooiingshoek voor een gegeven energie van $T_b = 22$ MeV voor verstrooiing aan Tantaal. Rechts: als functie van de energie bij een gegeven verstrooiingshoek.

Figuur 48 laat zien dat we uit de gemeten hoek , waarbij afwijkingen van Rutherford-verstrooiing optreden, dus de som van de beide stralen kunnen bepalen⁴⁸.

Figure 49: Verstrooiing van $\alpha$-deeltjes aan verschillende kernen. Gemeten interactieafstand als functie van de derde-machts wortel uit het massagetal van het target.

Figuur 49 toont dat we, indien we nu de gemeten interactieafstanden uitzetten als functie van de derde-machts wortel uit het massagetal van het target, een rechte lijn vinden. Er geldt dus

(78)

Het kernvolume is dus evenredig met het aantal nucleonen in de kern:

(79)

en de dichtheid van de kern hangt niet af van de soort kern:

(80)

Ook dit was destijds een uiterst interessant en onverwacht resultaat.