Diepinelastische Verstrooiing

Zoals figuur 59 laat zien, neemt de werkzame doorsnede voor elastische verstrooiing voor grote impulsoverdracht snel af, terwijl de inelastische werkzame doorsnede bij benadering onafhankelijk is van . Dit gedrag is wat we zouden verwachten voor de verstrooiing aan een puntvormig object. Daadwerkelijk heeft de diep-inelastische verstrooiing van leptonen (elektronen, muonen en neutrino's) een reeks inzichten in de structuur van het nucleon opgeleverd. We zullen daarom in het volgende deze verstrooiingsprocessen kort bespreken.

Figure: Elastische- en inelastische elektronenverstrooiing. Geplot is de verhouding van de werkzame doorsnede en de Mott werkzame doorsnede. Uit M. Breidenbach $et$ $al.$, Phys. Rev. Lett. 23, 935 (1969).

Bij de inelastische verstrooiing van een elektron kan ofwel eerst een hadronische tussentoestand (bijvoorbeeld een $\Delta$ met MeV, of een met bijvoorbeeld MeV) gevormd worden of het proton wordt (in diepinelastische botsingen) direct in meerdere hadronfragmenten opgesplitst. De corresponderende Feynmandiagrammen zijn geschetst in figuur 60.

Figure 60: Feynmandiagrammen die elastische- en inelastische elektronenverstrooiing beschrijven.

Als we de vierimpuls van het inkomende hadron aangeven met $P$, dan geldt voor de energie en impuls van het uitgewisselde virtuele foton

(120)

Hierbij is de massa van het proton.

Figure 61: Inelastische elektron-proton verstrooiing bij $E=4.879$ GeV (DESY). $E^\prime$ is de energie van het verstrooide elektron, $W$ de (invariante) massa van de aangeslagen toestand.

Figure 62: Schematische voorstelling voor elastische verstrooiing van een elektron aan een massief proton.

De hadronfragmenten hebben de impuls en de energie . In contrast tot elastische verstrooiing geldt nu dus niet dat

(121)

We duiden de invariante massa van de fragmenten aan met $W$ en hebben

(122)

Uit energie- en impulsbehoud volgt dan dat

(123)

Voor de werkzame doorsnede⁵⁵, die nu ook van de additionele variabele afhangt, vinden we

Figuur 61 laat zien dat de eerste aangeslagen toestanden van het nucleon heel mooi geïdentificeerd kunnen worden, als we bij constante verstrooiingshoek uitzetten als functie van (of ).

Figure 63: Schematische voorstelling voor elastische verstrooiing van een elektron aan drie vrije quarks.

Figuur 62 toont dat elastische verstrooiing optreedt bij een energie van

(125)

of, als we een verdere variabele invoeren

(126)

bij . Deze variabele is een specifieke combinatie van en $Q^2$ en wordt de Bjorken variabele genoemd.

Hogere aangeslagen toestanden van het nucleon treden op bij

(127)

Zoals figuur 63 laat zien, zouden we naïef verwachten dat voor de quarks een -functie optreedt bij

(128)

Figure 64: De structuurfunctie $F_2$ voor het proton als functie van $x$, voor $Q^2$ tussen 2 en 18 (GeV/c)$^2$.

Figuur 64 toont dat dat echter niet het geval is. We vinden hier een breed continuüm. De reden hiervoor in de grote Fermi-impuls die de quarks hebben, als we ze opsluiten in een volume met straal fm:

(129)

Deze beweging van de quarks geeft aanleiding tot een verbreding in de orde van

(130)

waarbij de massa is van de zogenaamde constituent quarks.

Zonder verder op afleidingen in te gaan, willen we nog een aantal belangrijke conclusies formuleren die gebaseerd zijn op dit soort experimenten. Het blijkt dat de functies en in vergelijking (181) helemaal niet van $Q^2$ afhangen.

Figure: Structuurfunctie $F_2(x,Q^2)$ van het proton als functie van de overgedragen vierimpuls. Men ziet een zeer geringe afhankelijkheid van $Q^2$ ( scaling) voor $x \approx 0.2$.

Figuur 65 toont dat, in de limiet , deze structuurfuncties enkel afhankelijk zijn van de dimensieloze grootheid

(131)

Deze eigenschap werd door Bjorken betiteld als scale invariance en geeft aan dat de partonen (of quarks) werkelijk puntvormige objecten zijn.

De structuurfunctie wordt veroorzaakt door de magnetische interactie⁵⁶. Hij verdwijnt voor verstrooiing aan spinloze deeltjes. Voor spin- Dirac deeltjes hebben we de zogenaamde Callan-Gross relatie

(132)

De verhouding wordt getoond in fig. 66. We zien dat de verhouding binnen de experimentele nauwkeurigheid consistent is met 1. Hieruit volgt dat de spin van de puntvormige bouwstenen van het nucleon gelijk is aan 1/2.

Figure 66: Ratio van de structuurfuncties $2xF_1(x)$ en $F_2(x)$. De data zijn afkomstig van experimenten op SLAC.

Figure: De quark-structuurfuncties verkregen uit een analyse van diepinlastische verstrooiingsdata. Figuur (b) toont de totale valentie en zee quark bijdragen tot de structuur van het proton.

De quarks nemen zowel aan de elektrische als aan de zwakke wisselwerking deel. Daarom heeft men naast elektronverstrooiing ook $\nu_\mu$ en verstrooid aan nucleonen. Uit de analyse van de gecombineerde meetgegevens volgt de bevestiging dat er voornamelijk drie geladen quarks ( of ) van belang zijn (dit zijn de zogenaamde valentie quarks die verantwoordelijk zijn voor de quantumgetallen van het nucleon) voor de opbouw van de nucleonen. Daarnaast vinden we nog bijdragen van de zee van quarks en antiquarks ( ), vooral in het gebied van lage $x$.

Figuur 67 toont de quark-structuurfuncties die verkregen zijn uit een analyse van diep-inlastische verstrooiingsdata. We geven de momentum verdeling van de quarks aan met , waarbij de verwachtingswaarde is van het aantal quarks van het type $f$, waarvan de momentumfractie ligt in het interval . De momentumverdeling van de antiquarks wordt aangegeven met , en die van de gluonen met . In een eenvoudig model (parton model) kunnen we de structuurfunctie $F_2$ dan voorstellen als de som van de momentumverdelingen gewogen met $x$ en . We vinden dan

(133)

Met enkel elektron en muon verstrooiing kunnen we de verdelingen van de quarks en antiquarks niet scheiden, omdat de structuurfuncties afhangen van het kwadraat van de ladingen. Echter als we (anti)neutrino verstrooiing gebruiken, dan kunnen we deze scheiding wel uitvoeren. In fig. 67b tonen we de verdeling van de valentie quarks, , waarbij we aannemen dat de quarks die horen bij de zee van paren, geproduceerd door de gluonen, dezelfde impulsverdeling hebben als de antiquarks. We merken op dat de valentie quarks de verdeling domineren voor , terwijl de zee van paren dominant is voor kleine waarden van $x$. Als we de quarkverdelingen integreren dan vinden we dat de quarks ongeveer voor de helft bijdragen tot de massa van het nucleon. De rest komt van de gluonen, de vectorbosonen, die verantwoordelijk zijn voor de wisselwerking tussen de quarks.

Figure 68: Een quark met een impulsfractie $x$ kan worden uitgezonden door een quark of een gluon dat een grotere fractie van de impuls draagt ($x<y<1)$. Het oplossend vermogen van het virtuele foton neemt toe naarmate $Q^2$ groter wordt. Het rechter diagram toont de interactie van een foton met een quark nadat het een gluon heeft uitgezonden. Bij kleine $Q^2 = Q_0^2$ worden quark en gluon als één systeem gezien. Bij hogere $Q^2>Q_0^2$ neemt het oplossend vermogen toe en kan de impulsfractie van het individuele quark worden gemeten, dus zonder de gluonbijdrage, en wordt dus een kleinere waarde gevonden.

Tenslotte merken we op dat de quark-gluon interactie veroorzaakt dat de effectieve partonverdelingen afhankelijk zijn van $Q^2$. Dit kan al opgemaakt worden uit de afwijkingen van scaling zoals die te zien zijn in fig. 65. De effectieve quarkverdeling neemt af toe naar het gebied met lage $x$ als $Q^2$ toeneemt. We zullen deze afwijkingen van scaling hier verder niet bespreken, omdat ze nogal gecompliceerd zijn. In plaats daarvan merken we op dat QCD al deze afhankelijkheden correct voorspeld, en dat de grootte van de effecten evenredig is met , die een maat is voor de waarschijnlijkheid van gluon emissie. Daarom is de meting van de afwijkingen van scaling een goede manier om de sterke koppelingsconstante te bepalen. Verdere studie van de afwijkingen van scaling is hoogst interessant. Zoals we hebben gezien is het niet ongebruikelijk dat deeltjes die puntvormig lijken, samengesteld blijken te zijn als we ze nader bestuderen (bijvoorbeeld de atoomkern in de experimenten van Rutherford). In diepinelastische verstrooiing ontdekken we een nieuw fenomeen; zie fig. 68. In experimenten met toenemende resolutie ($Q^2$) blijken de quarks en gluonen samengesteld te zijn uit quarks en gluonen, die bij nog hogere resoluties, ook weer samengesteld zijn uit quarks en gluonen. De quantumgetallen (spin, type, kleur,..) van deze deeltjes blijven hetzelfde. Enkel de massa, grootte, en de effectieve koppeling veranderd.