Werkzame Doorsneden en Matrixelementen

Uit de quantummechanica volgt²⁵ dat de werkzame doorsnede voor de reactie

$$b+t \rightarrow 1+2+ .. + n$$ (36)

berekend kan worden uit het matrixelement $M_{fi}$ voor de overgang van de begintoestand $i$ naar de eindtoestand $f$. Er geldt²⁶

(37)

In bovenstaande vergelijking hebben we weer alle spinfactoren weggelaten. De relatieve snelheid van de deeltjes in de begintoestand wordt aangegeven met $v_i$. We dienen te integreren over alle niet gemeten variabelen.

Figure 31: Schematische voorstelling van de botsing van een bundel- en een targetdeeltje in het zwaartepuntsysteem.

Ter vereenvoudiging rekenen we met slechts twee deeltjes in de eindtoestand en gebruiken we de niet-relativistische kinematica in het zwaartepuntsysteem (zie figuur 31). Integratie over $d\vec p_2$ geeft

$$d\sigma_{fi} = {1 \over (2\pi \hbar^2)^2 v_i} \int \vert M_{fi} \vert^2 \delta (E_1+E_2-E_b-E_t)~p_1^2~dp_1~d\Omega_1.$$ (38)

Na een verdere integratie²⁷ over $dp_1$ krijgen we

$${d\sigma_{fi} \over d\Omega_1}={1 \over (2\pi\hbar^2)^2} \vert M_{fi} \vert^2 {p_f^2 \over v_iv_f},$$ (39)

waarbij $p_f=p_1=p_2$ de impuls van de eindtoestand is²⁸.

Indien we verder even aannemen dat $M_{fi}$ constant is²⁹, dan kunnen we enkele uitspraken doen over het gedrag van de werkzame doorsnede in de buurt van een drempel. We kunnen drie gevallen onderscheiden.

• $Q=0$, elastische verstrooiing. Omdat $p_f \propto v_f \propto v_i$ is de werkzame doorsnede constant (onafhankelijk van de energie en de verstrooiingshoek).
• $Q>0$, bijvoorbeeld ($n,\gamma )$ reacties. Voor lage energieën zijn de veranderingen in $p_f$ en $v_f$ uiterst klein. De werkzame doorsnede is daarom evenredig met $1/v_i$.
• $Q<0$, bijvoorbeeld in reacties waarbij deeltjes geproduceerd worden. In dit geval is de reactie voor lage energieën verboden. Boven de drempel neemt de werkzame doorsnede snel toe, $\sigma \propto p_f \propto \sqrt{T_i - \vert Q \vert}$ ($T_i$ is de kinetische energie in de begintoestand).

Figure 32: Verhouding van de werkzame doorsneden voor de productie van twee deeltjes met tegenovergestelde lading in de reactie $e^++e^- \rightarrow e^\pm + X^\mp +Y$ en de werkzame doorsnede voor de productie van $\mu ^+\mu ^-$ paren. Hierbij is $X^\mp$ een geladen lepton of meson en $Y$ symboliseert niet-gedetecteerde neutrale deeltjes. De scherpe toename bij 3.55 GeV is afkomstig van $\tau$-paarproductie.

Figuur 32 toont een voorbeeld van het gedrag van de werkzame doorsnede als functie van de bundelenergie in de buurt van een drempel. Dit wordt gedemonsteerd aan de hand van het proces $e^++e^- \rightarrow \tau^++\tau^-$. De $\tau$ leptonen vervallen via de reacties $\tau^+ \rightarrow e^++\nu_e+\bar \nu_\tau$ of $\tau^+ \rightarrow \mu^++\nu_\mu +\bar \nu_\tau$, en $\tau^- \rightarrow \mu^-+\bar \nu_\mu +\nu_\tau$, of $\tau^- \rightarrow e^-+ \bar \nu_e+ \nu_\tau$. De neutrino's die in het proces worden gecreëerd worden niet gedetecteerd. De drempel voor $\tau^+ \tau^-$ productie, en dus de massa van het $\tau$ lepton, volgt uit de toename van de werkzame doorsnede met toenemende energie in het zwaartepuntsysteem. Het experimentele resultaat voor de drempelwaarde bij $\sqrt{s} =2m_\tau c^2$ impliceert een massa van $m_\tau = 1.777$ GeV/$c^2$.

Als eerste voorbeeld van het gebruik van relatie (112) schatten we de werkzame doorsnede voor de reactie

$$\bar \nu_e +p \rightarrow e^++n.$$ (40)

Hierbij gebruiken we de koppelingsconstante van de zwakke wisselwerking die we reeds vroeger uit deeltjesverval bepaald hebben³⁰. Voor een inkomende antineutrino-energie van $E_{\bar \nu_e} \sim 3$ MeV vinden we $p_fc \sim 1$ MeV (de $Q$-waarde van de reactie bedraagt MeV). De werkzame doorsnede bedraagt

(41)