Tijdevolutie van een systeem

In de Schrödinger representatie is de golffunctie van een systeen tijdafhankelijk, terwijl de observabelen geen expliciete tijdafhankelijkheid hebben. De Hamiltoniaan wordt gegeven door ${\bf H} = {\bf E_{kin}} + {\bf V(r)}$, waarbij ${\bf E_{kin}}$ en ${\bf V(r)}$ de operatoren zijn die corresponderen met de kinetische en potentiële energie van het systeem. De tijdevolutie van het systeem wordt gegeven door de tijdafhankelijke Schrödingervergelijking

$$i\hbar {\partial \psi \over \partial t} = {\bf H} \psi .$$ (399)

De Schrödingervergelijking is de quantummechanische bewegingsvergelijking van het systeem. Indien we aannemen dat ${\bf H}$ niet van de tijd afhankelijk is, dan is het zinvol om oplossingen te zoeken van de vorm

$$\psi ({\bf r}, t) = \phi( {\bf r} ) e^{-iEt/ \hbar} .$$ (400)

Invullen in de Schrödingervergelijking levert de eigenwaardenvergelijking

$${\bf H} \phi ({\bf r} ) = E \phi ({\bf r}).$$ (401)

Bovenstaande vergelijking wordt de tijdonafhankelijke Schrödingervergelijking genoemd en het oplossen ervan levert de energie eigenwaarden $E_1$, $E_2$, ... en de corresponderende eigenfuncties $\phi_1 ({\bf r})$, $\phi_2 ({\bf r})$, ..., die weer een complete orthonormale set vormen.

Voor een systeem in de toestand $\psi_n({\bf r}, t) = \phi_n({\bf r}) e^{-iE_nt/ \hbar}$ vinden we voor de verwachtingswaarde van de observabele $A$ op tijdstip $t$

$$<A>_t = \int \psi_n^*({\bf r}, t) A \psi_n({\bf r}, t)d{\bf r}$$

$$= \int \phi_n^* ({\bf r}) e^{iE_nt/ \hbar} A \phi_n ({\bf r}) e^{-iE_nt/ \hbar} d{\bf r}$$

$$= \int \phi_n^* ({\bf r}) A \phi_n ({\bf r}) d{\bf r}.$$

We zien dus dat wanneer de operator ${\bf A}$ geen expliciete tijdafhankelijkheid heeft, ook $<A>_t$ constant is in de tijd.

De energie eigenfuncties vormen een complete orthonormale set en hiermee kan een willekeurige toestand $\phi({\bf r})$ geschreven worden als

$$\phi({\bf r}) = \sum_n c_n \phi_n({\bf r}),$$ (402)

waarbij

$$c_n = \int \phi_n^* ({\bf r}) \phi({\bf r}) d{\bf r}.$$ (403)

We kunnen dit resultaat gebruiken om de Schrödingervergelijking (404) te integreren voor een willekeurige begintoestand $\psi({\bf r}, t_0 ) = \phi({\bf r})$ en vinden

$$\psi({\bf r},t) = \sum_n c_n \phi_n({\bf r})e^{-iE_n(t-t_0)/ \hbar} .$$ (404)