Een systeem met $N$ deeltjes

Allereerst beschouwen we een systeem van twee deeltjes die geen interactie met elkaar hebben. We kunnen de Hamiltoniaan schrijven als

$${\bf H} = {\bf H}_1 + {\bf H}_2 ,$$ (405)

waarbij ${\bf H}_1$ en ${\bf H}_2$ de Hamiltonianen zijn voor deeltje 1 en 2. We kunnen nu de eigenfuncties en eigenwaarden van de operator gegeven in vergelijking (411), schrijven in termen van de één-deeltjes Hamiltonianen ${\bf H}_1$ en ${\bf H}_2$. Er geldt

$$\begin{array}{lll} {\bf H}_1 \phi_m^{(1)}({\bf r}_1) & = E... ...phi_m^{(2)}({\bf r}_2), &    m = 1, 2, ... \\ \end{array}$$ (406)

met $\phi_m^{(k)}({\bf r}_k)$ en $E_m^{(k)}, m=1, 2, ..$ de eigenfuncties en eigenwaarden van de Hamiltoniaan ${\bf H}_k$ voor het deeltje met label $k(=1,2)$. Hieruit volgt dat voor elk product van eigenfuncties $\phi_m^{(1)}({\bf r}_1) \phi_n^{(2)}({\bf r}_2)$ geldt dat

$${\bf H} \phi_m^{(1)}({\bf r}_1) \phi_n^{(2)}({\bf r}_2) = ({\bf H}_1 + {\bf H}_2 ) \phi_m^{(1)}({\bf r}_1) \phi_n^{(2)}({\bf r}_2)$$

$$= \left[ {\bf H}_1 \phi_m^{(1)}({\bf r}_1) \right] \phi_n^{(2)}({\bf r}_2) + \phi_m^{(1)}({\bf r}_1) \left[ {\bf H}_2 \phi_n^{(2)}({\bf r}_2) \right]$$

$$= (E_m^{(1)} + E_2^{(2)} ) \phi_m^{(1)}({\bf r}_1) \phi_n^{(2)}({\bf r}_2) ,$$

en dat de productfunctie

$$\phi_m^{(1)}({\bf r}_1) \phi_n^{(2)}({\bf r}_2)$$ (407)

een eigenfunctie is van de Hamiltoniaan ${\bf H} = {\bf H}_1 + {\bf H}_2$ behorend bij de eigenwaarde $E_m^{(1)} + E_2^{(2)}$. We vinden dat voor een systeem van twee niet-wisselwerkende deeltjes de energie gegeven wordt door de som van de energieën van de individuele deeltjes.

De generalisatie van deze resultaten naar die van een systeem met $N$ deeltjes zonder interactie, met een Hamiltoniaan ${\bf H} = {\bf H}_1 + {\bf H}_2 + ... + {\bf H}_N$ is triviaal. In realistische gevallen, waarbij de $N$ deeltjes wisselwerken, dienen we termen toe te voegen aan de Hamiltoniaan die deze wisselwerking tussen de deeltjes vertegenwoordigen. Hierdoor wordt het in het algemeen moeilijk om de bijbehorende Schrödingervergelijking op te lossen. Men gaat dan over tot benaderingsmethoden, storingsrekening, symmetriebeschouwingen en/of numerieke methoden teneinde oplossingen te vinden.