Onzekerheid in de quantum fysica

In de bespreking van Fourieranalyse zijn we de onzekerheidsrelatie van Heisenberg tegen gekomen. Ook hebben we gezien dat bepaalde, zogenaamde geconjugeerde operatoren niet commuteren. In het volgende willen we hier een verband tussen leggen en een bewijs leveren van het algemene onzekerheidsprincipe in de quantum fysica.

Voor iedere observabele $A$ geldt

$$\sigma_A^2 = < ( {\bf A} - <A> )\psi \vert ({\bf A} - <A> ) \psi > = <f \vert f >,$$ (388)

met $\vert f > \equiv ({\bf A} - <A>) \vert \psi >$. Evenzo geldt voor iedere andere observabele $B$,

$$\sigma_B^2 = <g \vert g >,    {\rm met}    \vert g > \equiv ({\bf B} -<B>) \vert \psi >.$$ (389)

Voor inproducten geldt altijd,

$$\sigma_A^2 \sigma_B^2 = <f \vert f><g \vert g> \geq  \vert <f \vert g > \vert^2.$$ (390)

Ook geldt voor elk complex getal $z$,

$$\vert z \vert^2 = ({\rm Re}(z))^2 + ({\rm Im}(z))^2  \geq ({\rm Im}(z))^2 = \left[ {1 \over 2i}(z-z*) \right]^2.$$ (391)

Dus als we stellen dat $z=<f \vert g>$, dan

$$\sigma_A^2 \sigma_B^2 \geq \left( {1 \over 2i} \left[ <f \vert g> - <g \vert f> \right] \right)^2.$$ (392)

Echter

$$<f \vert g> = <({\bf A}-<A>)\psi \vert ({\bf B}-<B>)\psi > =<\psi \vert ({\bf A}-<A>)({\bf B}-<B>)\psi >$$

$$= <\psi \vert ({\bf AB} - {\bf A}<B> - {\bf B}<A> + <A><B>)\psi >$$

$$= < \psi \vert {\bf AB} \psi > - <B><\psi \vert {\bf A} \psi > -<A><\psi \vert {\bf B} \psi >+<A><B><\psi \vert \psi >$$

$$= <{\bf AB}> - <B><A> - <A><B> + <A><B>$$

$$= <{\bf AB}> - <A><B> .$$

Evenzo geldt

$$<g \vert f > = <{\bf BA}> - <A><B>,$$ (393)

dus

$$<f \vert g > - <g \vert f > = <{\bf AB}> - <{\bf BA}> = < [ {\bf A},{\bf B} ]>,$$ (394)

met

$$[{\bf A},{\bf B}]\equiv {\bf AB} - {\bf BA}$$ (395)

de commutator van de twee operatoren. We kunnen hiermee de conclusie trekken, dat

$$\sigma_A^2 \sigma_B^2 \geq \left( {1 \over 2i} < [{\bf A},{\bf B}] > \right)^2.$$ (396)

Dit is de onzekerheidsrelatie in zijn meest algemene vorm.

Stel dat we als eerste observabele de positie nemen, ${\bf A} = {\bf x}$ en voor de tweede de impuls ${\bf B} = {(\hbar / i )d/dx}$. Voor de commutator geldt dan $[{\bf x},{\bf p}]=i\hbar$ en we vinden

$$\sigma_x^2 \sigma_p^2 \geq \left( {1 \over 2i} i\hbar \right)^2 = \left( {\hbar \over 2} \right)^2,$$ (397)

en omdat standaarddeviaties altijd positief zijn,

$$\sigma_x \sigma_p \geq { \hbar \over 2} .$$ (398)

We zien dus dat onzekerheid algemeen ingebouwd zit in de quantum theorie en we vinden een onzekerheidsrelatie voor elk paar observabelen waarvan de corresponderende operatoren niet commuteren. We noemen deze incompatibele observabelen.