Dirac notatie

In de notatie die is ingevoerd door Dirac schrijven we in plaats van de golffuncties $\psi_a$, $\psi_b$, ... de toestanden $\vert \psi_a >$, $\vert \psi_b >$, ... of zelfs $\vert a >$, $\vert b >$, ... waarbij $a$, $b$, ...de toestanden labelen waarvan de golffuncties $\psi_a$, $\psi_b$, ... zijn. Het symbool $\vert >$ werd door Dirac een ket genoemd, terwijl de bra $< \vert$ de complex geconjugeerde toestand voorstelt. De ket is een vector, maar wat is een bra? Het is duidelijk geen operator, want als een operator op een vector werkt, dan dient het resultaat een vector te zijn. Echter als een bra op een vector (een ket) werkt, dan is het resultaat een complex getal, dat we als inproduct kennen. In deze notatie kan het scalaire product van twee toestanden $\vert a >$ en $\vert b >$ geschreven worden als

$$< b \vert a > = < \psi_b \vert \psi_a > = \int \psi_b^* ({\bf r} ) \psi_a ({\bf r}) d{\bf r}.$$ (378)

De verzameling van alle bra's vormen weer een lineaire vectorruimte, die we de duale ruimte noemen.

Het blijkt dat we met de Dirac notatie ook meer inzicht in de compleetheid (volledigheid) van een operator kunnen krijgen. Beschouw hiertoe het volgende: als $\xi_1 ({\bf r})$, $\xi_1 ({\bf r})$, ..., $\xi_n ({\bf r})$, een complete set orthonormale golffuncties is, dan geldt

$$< \xi_m \vert \xi_n > = \delta_{mn}$$ (379)

en de expansie van een willekeurige golffunctie $\psi_a({\bf r})$ in termen van de complete set $\xi_1 ({\bf r})$, $\xi_1 ({\bf r})$, ... heeft in Dirac notatie de vorm

$$\vert a > = \sum_{n} c_a(n) \vert \xi_n > .$$ (380)

Als we het inproduct hiervan nemen met $\vert \xi_m >$, dan verkrijgen we de expansiecoëfficiënt

$$c_a(m) = < \xi_m \vert a > .$$ (381)

Stel dat $\vert \xi_n >$ een genormeerde vector is, dan kunnen we de operator ${\bf P}_n$ definieren als

$$P_n \equiv \vert \xi_n ><\xi_n \vert$$ (382)

en deze operator selecteert de component van elke vector die langs $\vert \xi_n >$ ligt. Zo vinden we voor de component $\vert a >_n$ langs $\vert \xi_n >$ de vector

$$\vert a >_n = P_n \vert a > = \vert \xi_n > <\xi_n \vert a > = <\xi_n \vert a > \vert \xi_n > .$$ (383)

We kunnen hiermee vergelijking (384) schrijven als

$$\vert a > = \sum_{n} \vert \xi_n > < \xi_n \vert a > .$$ (384)

Stel dat ${\bf Q}$ een operator is met een complete verzameling orthonormale eigenvectoren,

$$Q \vert e_j > = \lambda_j \vert e_j >  (j=1,2,3,\ldots , n),$$ (385)

dan noemen we

$$Q = \sum_{j=1}^n \lambda_j \vert e_j >< e_j \vert$$ (386)

de spectrale decompositie van ${\bf Q}$.

In een meer eenvoudige notatie vinden we voor vergelijking (388)

$$\vert a > = \sum_{n} \vert n > < n \vert a > .$$ (387)

We zien dat de operator $\sum_{n} \vert n > < n \vert = {\bf 1}$ voor een complete set.