Lineaire combinaties van vectoren

Een lineaire combinatie van de vectoren $\vert \alpha >, \vert \beta >, \vert \gamma >, ...$ is een uitdrukking van de vorm

$$a \vert \alpha > + b \vert \beta > + c \vert \gamma > + ...$$ (257)

Een vector $\vert \lambda >$ wordt lineair onafhankelijk van de verzameling $\vert \alpha >, \vert \beta >, \vert \gamma >, ...$ genoemd als het geschreven kan worden als een lineaire combinatie van deze vectoren. Op dezelfde wijze is een verzameling vectoren lineair onafhankelijk als elke vector lineair onafhankelijk is van de rest. Een verzameling vectoren spant een ruimte op als elke vector geschreven kan worden als een lineaire combinatie van de elementen van deze verzameling. De verzameling van lineair onafhankelijke vectoren die een ruimte opspant, wordt een basis genoemd. Het aantal vectoren in een basis wordt de dimensie van de ruimte genoemd. Op dit moment nemen we aan dat de dimensie, $n$, eindig is. Ten opzichte van een voorgeschreven basis

$$\vert e_1 > , \vert e_2 > , \vert e_3 > , .., \vert e_n >,$$ (258)

wordt een willekeurige vector

$$\vert \alpha > + a_1 \vert e_1 > + a_2 \vert e_2 > + .. + a_n \vert e_n >$$ (259)

op unieke wijze vertegenwoordigd door de (geordende) verzameling van zijn componenten

$$\vert \alpha > \leftrightarrow (a_1, a_2, .., a_n ).$$ (260)

Het is vaak eenvoudiger om met de componenten te werken dan met de abstracte vectoren zelf. Om twee vectoren op te tellen, tel je dan de corresponderende componenten op

$$\vert \alpha > + \vert \beta > \leftrightarrow (a_1 + b_1, a_2 + b_2, .., a_n + b_n ).$$ (261)

Vermenigvuldigen met een scalar betekent

$$c \vert \alpha > \leftrightarrow (ca_1, ca_2, .., ca_n ),$$ (262)

terwijl de nulvector door een reeks nullen wordt voorgesteld

$$\vert 0 > = (0,0,..,0)$$ (263)

en de componenten van de inverse vector hebben het tegenovergestelde teken

$$\vert - \alpha > \leftrightarrow (-a_1, -a_2, .., -a_n).$$ (264)

Het enige nadeel van het werken met componenten, is dat men zich moet commiteren tot een bepaalde basis en dat sommige manipulaties er verschillend uit zullen zien voor iemand die in een andere basis werkt.