Inproduct

In drie dimensies zijn we twee soorten vectorproduct tegengekomen: inproduct en uitproduct. In $n$-dimensionale ruimten beschouwen we enkel het inproduct. Het inproduct van twee vectoren $\vert \alpha >$ en $\vert \beta >$ is een complex getal, dat we noteren als $< \alpha \vert \beta >$, met de volgende eigenschappen

$$< \beta \vert \alpha > = < \alpha \vert \beta >^*,$$ (265)

$$< \alpha \vert \alpha > \geq 0,    {\rm en}     < \alpha \vert \alpha > = 0 \leftrightarrow \vert \alpha > = \vert 0 >,$$ (266)

$$< \alpha \vert \left( b \vert \beta > + c \vert \gamma > \right) = b < \alpha \vert \beta > + c < \alpha \vert \gamma >.$$ (267)

We zien hier in een nieuwe notatie weer het vertrouwde gedrag van inproducten. Een vectorruimte met een inproduct wordt een inproductruimte genoemd. Omdat het inproduct van een willekeurige vector met zichzelf een niet-negatief getal is, noemen we dit de norm of lengte van een vector

$$\Vert \alpha \Vert \equiv \sqrt{<\alpha \vert \alpha>}.$$ (268)

Een eenheidsvector heeft norm 1 en wordt genormaliseerd genoemd. Twee vectoren waarvan het inproduct nul is worden orthogonaal genoemd. Een verzameling van onderling orthogonale genormaliseerde vectoren,

$$< \alpha_i \vert \alpha_j > = \delta_{ij},$$ (269)

wordt een orthonormale verzameling genoemd. Het is altijd mogelijk en bijna altijd makkelijk om een orthonormale basis te kiezen. In dat geval kan het inproduct van twee vectoren geschreven worden als

$$<\alpha \vert \beta > = a_1^*b_1 + a_2^*b_2 + .. + a_n^*b_n,$$ (270)

en (het kwadraat van de) norm wordt

$$<\alpha \vert \alpha > = \vert a_1 \vert^2 + \vert a_2 \vert^2 + ... + \vert a_n \vert^2,$$ (271)

en de componenten zijn

$$a_i = < e_i \vert \alpha >.$$ (272)

Een andere geometrische grootheid die men kan generaliseren is de hoek tussen twee vectoren. In gewone vectorrekening hebben $\cos{\theta} = ({\bf a} \cdot {\bf b}) / \vert {\bf a} \vert \vert {\bf b} \vert$. Echter, omdat het inproduct in het algemeen een complex getal is, definieert de analoge formule geen reëele hoek. Het is echter zo dat de absolute waarde van deze grootheid een getal kleiner dan 1 is,

$$\vert < \alpha \vert \beta >\vert^2 \leq <\alpha \vert \alpha > <\beta \vert \beta >.$$ (273)

Dit belangrijke resultaat staat bekend als de ongelijkheid van Schwarz. We kunnen hiermee de hoek tussen $\vert \alpha >$ en $\vert \beta >$ definiëren als

$$\cos{ \theta } = \sqrt{ <\alpha \vert \beta ><\beta \vert \alpha > \over < \alpha \vert \alpha ><\beta \vert \beta >}.$$ (274)

Voorbeeld: Stel $\vert \alpha > = (1+i, -i, 1)$ en $\vert \beta > = (2+3i, 1-2i, i>$. Dan is $\vert \alpha >^* = < \alpha \vert = (1-i, i, 1)$. Het inproduct $< \alpha \vert \beta >$ is dan

$$<\alpha \vert \beta > = (1-i, i, 1) \left( \begin{array}{c... ... \\ \end{array} \right) = (1-i)(2+3i)+i(1-2i)+1(i) = 7+3i.$$ (275)

Het inproduct $<\beta \vert \alpha >$ is dan

$$<\beta \vert \alpha > = (2-3i,1+2i, -i) \left( \begin{array}{c} 1+i \\ -i \\ 1 \\ \end{array} \right) = 7-3i.$$ (276)