De Gram-Schmidt procedure

Stel je begint met een basis ( $\vert e_1 >, \vert e_2 >, .., \vert e_n >$) die niet orthonormaal is. De Gram-Schmidt procedure beschrijft hoe hem dan een orthonormale basis ( $\vert e_1^\prime >, \vert e_2^\prime >, .., \vert e_n^\prime >$) kan genereren. Dit gaat als volgt.

1. Normeer de eerste basis vector (deel door de norm),
   

   $$\vert e_1^\prime > = {\vert e_1 > \over \Vert e_1 \Vert}.$$ (277)

   
   

2. Bereken de projectie van de tweede vector langs de eerste en trek die eraf,
   

   $$\vert e_2 > - <e_1^\prime \vert e_2 > \vert e_1^\prime >.$$ (278)

   
   
   Deze vector is orthogonaal met $\vert e_1^\prime >$. We normeren de vector en vinden hiermee $\vert e_2^\prime >$.
3. Trek van $\vert e_3 >$ de projecties langs $\vert e_1^\prime >$ en $\vert e_2^\prime >$ af,
   

   $$\vert e_3 > - <e_1^\prime \vert e_3 > \vert e_1^\prime > - <e_2^\prime \vert e_3 > \vert e_2^\prime > .$$ (279)

   
   
   De gevonden vector is orthogonaal op $\vert e_1^\prime >$ en $\vert e_2^\prime >$. Normeer deze vector om $\vert e_3^\prime >$ te vinden. Enzovoort.