De ongelijkheid van Bell

Realistisch lokale theorieën gaan er van uit dat de wereld bestaat uit systemen (deeltjes en velden) die objectieve eigenschappen bezitten die bestaan onafhankelijk van elk experiment uitgevoerd door waarnemers. Een verdere eigenschap is dat het resultaat van een meting van een eigenschap op een punt B kan niet afhangen van een gebeurtenis op punt A, voldoende verwijderd van punt B, zodat informatie over de gebeurtenis, die zich voortplant met de lichtsnelheid, punt B niet kan bereiken voor dat de meting plaatsvindt. Dit laatste wordt Einstein lokaliteit genoemd. Bell heeft in 1964 laten zien dat elke lokaal realistische theorie voldoet aan een criterium, de zogenaamde Bell ongelijkheid. Experimenten tonen aan dat quantummechanica niet aan dit criterium voldoet en dat de gevonden afwijkingen van de Bell ongelijkheid in volledige overeenstemming zijn met de voorspellingen van de quantummechanica. Er zijn diverse formuleringen van de Bell ongelijkheid, maar wij volgen hier de afleiding van Wigner (1970) die betrekking heeft op het experiment van Bohm.

We nemen aan dat in het spincorrelatie experiment van Bohm de Stern-Gerlach magneten op A en B zodanig kunnen worden georiënteerd, dat de spincomponenten in drie richtingen, gespecificeerd door de eenheidsvectoren ${\bf\hat n}_1$, ${\bf\hat n}_2$ en ${\bf\hat n}_3$, gemeten kunnen worden. In een realistische theorie heeft elk individueel neutron bepaalde waarden ($+$ of $-$) voor de spincomponenten in de drie richtingen ${\bf\hat n}_1$, ${\bf\hat n}_2$ en ${\bf\hat n}_3$. We nemen niet aan dat we al deze componenten van een neutron tegelijkertijd kunnen meten, maar enkel dat als we één ervan meten door de Stern-Gerlach magneet op de juiste oriëntatie te zetten, de uitkomst van deze meting exact voorspelbaar is. Een neutron kan bijvoorbeeld worden voorgesteld door $(+,-,+)$, hetgeen betekent dat voor dit neutron in een meting van de spincomponent in de ${\bf\hat n}_1$ richting met zekerheid $+$ zal worden gevonden, in de ${\bf\hat n}_2$ richting met zekerheid $-$ en in de ${\bf\hat n}_3$ richting met zekerheid $+$. De neutronparen kunnen dus in groepen worden opgedeeld, die worden gespecificeerd door $(\sigma_1 \sigma_2 \sigma_3 ; \tau_1 \tau_2 \tau_3 )$, waarbij $\sigma_i$ en $\tau_i$ (die enkel de waarden $+$ en $-$ kunnen aannemen) de spincomponenten in de richting ${\bf\hat n}_i$ voorstellen van de neutronen die respectievelijk door de magneten op positie A en B gaan. Stel dat $f ( {\sigma_1 \sigma_2 \sigma_3 ; \tau_1 \tau_2 \tau_3 } )$ de fractie van neutronparen is, geproduceerd in de bron S, die behoord bij de groep $( {\sigma_1 \sigma_2 \sigma_3 ; \tau_1 \tau_2 \tau_3 } )$. De waarden van deze fracties $f$ hangt van het proces af waarin de neutronparen gemaakt worden. In het experiment van Bohm worden de neutronparen in een singlet spintoestand gemaakt en dienen dus tegenovergestelde waarden te hebben voor spins langs dezelfde richting. Als bijvoorbeeld $\sigma_3 = +$, dan geldt dat $\tau_3 = -$, maar ook dat $f( +-+;-++)=0$. Er geldt

$$f ( {\sigma_1 \sigma_2 \sigma_3 ; \tau_1 \tau_2 \tau_3 } ) = 0,      {\rm behalve  } \sigma_i = -\tau_i,   i=1,2,3.$$ (747)

Merk op dat deze beschrijving voldoet aan de lokaliteitseis: het resultaat van een meting op positie A hangt enkel van de waarden $\sigma_1$, $\sigma_2$ en $\sigma_3$ af en van de orientatie van de magneet op positie A, maar is onafhankelijk van de orientatie van de magneet op positie B. Op dezelfde wijze is een meting van de spin op positie B onafhankelijk van de instelling van de magneet op positie A.

We kunnen nu eenvoudig de $(++)$ spincorrelaties verkrijgen. Dat zijn de waarschijnlijkheden $<{\bf\hat n}_i + ; {\bf\hat n}_j + >$ dat, voor een neutronpaar, metingen van de spincomponenten bij A langs ${\bf\hat n}_i$ en bij B langs ${\bf\hat n}_j$ beide als resultaat $+$ geven. We hebben

$$<{\bf\hat n}_1 + ; {\bf\hat n}_2 + > = \sum_{\sigma_2 \sig... ...{\tau_1 \tau_3} f( + \sigma_2 \sigma_3 ; \tau_1 + \tau_3 ) .$$ (748)

Met behulp van vergelijking (758) vinden we dat de enige termen die niet-nul zijn in de sommatie corresponderen met $\sigma_2 = -$, $\tau_1 = -$ en $\sigma_3 = - \tau_3 = \pm$. Bovenstaande vergelijking kan hiermee geschreven worden als

$$<{\bf\hat n}_1 + ; {\bf\hat n}_2 + > = f(+-+;-+-)  +  f(+-;-++).$$ (749)

Op dezelfde manier vinden we

$$<{\bf\hat n}_3 + ; {\bf\hat n}_2 + > = f(+-+;-+-)  +  f(-+;++-)$$ (750)

en

$$<{\bf\hat n}_1 + ; {\bf\hat n}_3 + > = f(++-;-+)  +  f(+-;-++).$$ (751)

De twee termen aan de rechterkant van vergelijking (760) komen voor in vergelijkingen (761) en (762). Omdat de fracties $f ( {\sigma_1 \sigma_2 \sigma_3 ; \tau_1 \tau_2 \tau_3 } )$ niet-negatief zijn, volgt hieruit dat

$$<{\bf\hat n}_1 + ; {\bf\hat n}_2 + >   \leq   <{\bf\hat ... ...f\hat n}_2 + >  +   <{\bf\hat n}_1 + ; {\bf\hat n}_3 + >.$$ (752)

Het bovenstaande wordt de ongelijkheid van Bell genoemd.

We kunnen ook de quantummechanische waarden van de correlaties $<{\bf\hat n}_i + ; {\bf\hat n}_j + >$ uitrekenen. In een singlet spintoestand is de waarschijnlijkheid ${1 \over 2}$ dat een meting van de spincomponent in de richting ${\bf\hat n}_i$ als resultaat $+$ geeft. Als dat resultaat verkregen wordt, dan zal een meting van de spincomponent ${\bf\hat n}_i$ van het corresponderende neutron op positie B als resultaat $-$ geven. In vergelijking (606) hebben we de waarschijnlijkheid afgeleid dat, voor een neutron in de $+$ toestand in de ${\bf\hat z}$-richting, een meting van de spincomponent in de ${\bf\hat n}$-richting als resultaat $+$ geeft. We nemen nu ${\bf\hat z} = - {\bf\hat n}_i$ en ${\bf\hat n} = {\bf\hat n}_j$ en schrijven vergelijking (606) als

$$P ( - {\bf\hat n}_i , {\bf\hat n}_j + ) = \cos^2{ \theta \over 2} = \sin^2{ \theta_{ij} \over 2 },$$ (753)

waarbij $\theta$ de hoek is tussen $-{\bf\hat n}_i$ en ${\bf\hat n}_j$, en $\theta_{ij} = \pi - \theta$ de hoek tussen ${\bf\hat n}_i$ en ${\bf\hat n}_j$. Er geldt

$$<{\bf\hat n}_i + ; {\bf\hat n}_j + > = {1 \over 2} P ( - {... ...hat n}_j + ) = {1 \over 2} \sin^2{ \theta_{ij} \over 2 }.$$ (754)

Als de voorspellingen van de quantummechanica in overeenstemming moeten zijn met die van realistisch lokale theorieën, dan moeten de waarschijnlijkheden (765) voldoen aan de ongelijkheid van Bell (763). Er geldt

$$\sin^2{ \theta_{12} \over 2 } \leq \sin^2{ \theta_{23} \over 2 } + \sin^2{ \theta_{13} \over 2 } .$$ (755)

Men kan eenvoudig laten zien dat er geometrieën zijn waarvoor bovenstaande ongelijkheid geschonden is. Stel bijvoorbeeld dat de eenheidsvectoren ${\bf\hat n}_1$, ${\bf\hat n}_2$ en ${\bf\hat n}_3$ coplanair zijn en dat ${\bf\hat n}_3$ de deelhoek is van ${\bf\hat n}_1$ en ${\bf\hat n}_2$,

$$\theta_{13} = \theta_{23} = {1 \over 2} \theta_{12}.$$ (756)

We vinden dan voor de ongelijheid

$$\sin^2{ \theta_{13} } \leq 2 \sin^2{ \theta_{13} \over 2 } ,$$ (757)

hetgeen vereenvoudigt tot

$$\cos^2{ \theta_{13} \over 2 } \leq {1 \over 2}.$$ (758)

We weten echter dat $\cos{\theta_{13} \over 2}$ groter is dan ${1 / \sqrt{2}}$ voor de hoeken $0 < {\theta_{13} \over 2} < {\pi \over 4}$ en voor deze hoeken wordt de ongelijkheid van Bell geschonden en zijn de voorspellingen van de quantummechanica niet in overeenstemming met die van lokaal realistische theorieën.