Verstrooiing aan een gelokaliseerde potentiaal

We beschouwen hier de quantummechanische beschrijving van de botsing van twee deeltjes, of beter gezegd, de verstrooiing van een inkomende vlakke golf, $e^{ikz}$, aan een sferisch symmetrische potentiaal, $V(r)$. Het verstrooiingsproces wordt weergegeven in figuur 35.

Figuur 35: Verstrooiing van golven, waarbij een inkomende golf een uitgaande sferische golf genereert.

We hebben te maken met een inkomende vlakke golf, $\psi (z) = Ae^{ikz}$, die in de $z$-richting beweegt. De golf komt een verstrooiingspotentiaal tegen en genereert een uitgaande sferische golf. We zoeken dus oplossingen van de Schrödingervergelijking van de vorm

$$\psi (r, \theta ) \approx A \left\{ e^{ikz} + f( \theta ) {e^{ikr} \over r} \right\} ,    {\rm voor grote }r.$$ (467)

De sferische golf dient af te vallen met $1/r$, omdat dit deel van $\vert \psi \vert^2$ met $1/r^2$ moet gaan om waarschijnlijkheid te behouden. We noemen $f( \theta )$ de verstrooiingsamplitude.

We zoeken oplossingen van de vorm

$$\psi (r, \theta , \phi ) = \chi (r) Y_l^m (\theta , \phi ),$$ (468)

met $Y_l^m$ de sferisch harmonischen en $u(r) = r\chi (r)$. Deze laatste moet een oplossing zijn van de radiële vergelijking

$$-{\hbar^2 \over 2m}{d^2 u \over dr^2} + \left[ V(r) + {\hbar^2 \over 2m} {l(l+1) \over r^2} \right] u = Eu.$$ (469)

Op grote afstand ( $r \rightarrow \infty$) gaat de potentiaal naar nul en is ook de centrifugale term verwaarloosbaar. We hebben dan

$${d^2 u \over dr^2} \approx - k^2 u,$$ (470)

met $k \equiv {\sqrt{2mE} \over \hbar}$. De algemene oplossing is dan

$$u (r) = Ce^{ikr} + D^{-ikr}.$$ (471)

De eerste term vertegenwoordigt een uitgaande sferische golf en de tweede een inkomende sferische golf - in ons geval willen we $D=0$. Op grote afstand vinden we dus

$$\chi (r) \approx {e^{ikr} \over r},$$ (472)

zoals we in de inleiding al aangaven.

Als we aannemen dat de potentiaal lokaal is, dan is er een gebied waarvoor de potentiaal $V$ verwaarloosd kan worden, maar waar we rekening moeten houden met de centrifugale term. In dit intermediaire gebied kunnen we de radiële vergelijking schrijven als

$${d^2 u \over dr^2} - {l(l+1) \over r^2} u = -k^2u$$ (473)

en de algemene oplossing hiervan hebben we reeds in de vorige paragraaf gevonden. Het is een lineaire combinatie van sferische Bessel en Neumann functies,

$$u_l(r) = Arj_l(kr) + Brn_l(kr).$$ (474)

Het is echter zo, dat zowel $j_l$ (iets als een sin-functie) als $n_l$ (iets als een cos-functie) geen uitgaande (of inkomende) golf kan voorstellen. We hebben een lineaire combinatie hiervan nodig (analoog aan $e^{ikr}$ en $e^{-ikr}$). Deze combinatie staat bekend als de sferische Hankel functies en is gedefineerd als

$$h_l^{(\pm )}(x)=n_l(x) \pm {\rm i} j_l(x) .$$ (475)

Merk op dat $h_l^{(-)} = h_l^{(+)*}$.

De laagste-orde Hankel functies zijn

$$\begin{array}{c} h_0^{(\pm )} = \mp i {e^{\mp ix} \over x}... ...er x^2} \mp {i \over x} \right) e^{\mp ix} .\\ \end{array}$$ (476)

We zien dat de Hankel functie van de eerste soort, $h^+$, als $e^{ikr}/r$ gaat, terwijl de Hankel functie van de tweede soort, $h^{-}$ als $e^{-ikr}/r$ gaat. Voor uitgaande sferische golven hebben we duidelijk de sferische Hankel functie van de eerste soort nodig.

Hierbij schrijven we voor de complete golffunctie, in het externe gebied met $V(r) = 0$,

$$\psi (r, \theta , \phi ) = A \left\{ e^{ikz} + \sum_{l,m} C_{l,m} h_l^{+} (kr)Y_l^m(\theta , \phi ) \right\} .$$ (477)

Tenslotte merken we op dat we nu ook een vergelijking kunnen vinden voor de golffunctie van een vrij deeltje uitgedrukt in sferische coördinaten. Er geldt onderstaande expansie van een vlakke golf

$e^{ikz} \equiv e^{ikr\cos{\theta}} = \sum_{l=0}^\infty (2l+1) {\rm i}^l j_l(kr) P_l(\cos{\theta})$.