Algemene oplossing oneindige potentiaal put

De algemene oplossing van de radiële vergelijking voor de oneindige potentiaal put wordt gegeven door

$$u(r) = Arj_l(kr) + Brn_l(kr),$$ (459)

met $j_l(kr)$ de sferische Bessel functie van de orde $l$ en $n_l(kr)$ de sferische Neumann functie van de orde $l$. Deze functies zijn gedefinieerd als

$$j_l(\rho )=\sqrt{\pi \over 2 \rho} J_{l+{1 \over 2}} (\rho )$$ (460)

en

$$n_l(\rho )=(-)^l \sqrt{\pi \over 2 \rho} J_{-l-{1 \over 2}} (\rho ) ,$$ (461)

met $J_\nu$ de normale Besselfunctie van de orde $\nu$. Merk op dat $j_l$ en $n_l$ reëele functies zijn. Fig. 34 toont enkele van de reguliere Besselfuncties.

Figuur 34: Reguliere Besselfuncties die het radiële deel van de golffunctie beschrijven van een deeltje dat zich in een potentiaal put beweegt.

De laagste-orde sferische Bessel en Neumann functies zijn

$$\begin{array}{ll} j_0 = {\sin{x} \over x}, &   n_0 = -{\c... ... x} \right) \cos{x} -{3 \over x^2} \sin{x}. \\ \end{array}$$ (462)

Merk op dat voor kleine $x$ geldt dat $\sin{x} \approx x$ en $\cos{x} \approx 1$. We zien dan dat enkel de Bessel functies eindig blijven bij de oorsprong, terwijl de Neumann functies naar oneindig gaan. Daarom dient te gelden dat $B_l=0$ en we vinden

$$\chi (r) = Aj_l(kr).$$ (463)

Verder hebben we nog de randvoorwaarde $\chi (a) = 0$ en dienen we $k$ zo te kiezen dat $j_l(ka) = 0$. Nu is het zo dat iedere Bessel functie oneindig veel nulpunten heeft. We noemen $\beta_{nl}$ het $n^{\rm de}$-nulpunt van de $l^{\rm de}$ sferische Bessel functie. Er dient dan te gelden dat

$$k = {1 \over a} \beta_{nl}.$$ (464)

De mogelijke energietoestanden zijn dan gegeven door

$$E_{nl} = {\hbar^2 \over 2ma^2}\beta_{nl}^2,$$ (465)

en de golffuncties door

$$\psi_{nlm} (r, \theta , \phi ) = A_{nl}j_l(\beta_{nl}r/a)Y_l^m(\theta , \phi ),$$ (466)

waarbij we de constante $A_{nl}$ weer uit de normeringsconditie kunnen bepalen. We zien dat elk energieniveau $(2l+1)$-keer ontaard is, omdat er $(2l+1)$ verschillende waarden voor $m$ zijn bij elke waarde van $l$.