next up previous contents
Next: Diagonale matrices Up: Matrixrekening Previous: Product van scalar met   Contents

Product van matrices

Definitie: Het product $ {\bf AB} = {\bf C}$ van de matrix $ {\bf A} = (a_{ij}),(k \times m)$ met de matrix $ {\bf B} = (b_{ij}),(m \times n)$, is de matrix $ {\bf C} = (c_{ij}),(k \times n)$, waarvan

$\displaystyle c_{ij} = \sum_{h=1}^m a_{ih}b_{hj}, (i=1,..,k;j=1,..,n).$ (452)

Het element $ c_{ij}$ van $ {\bf C}$ is dus gelijk aan het inwendig product van de $ i^e$ rijvector van $ {\bf A}$ met de $ j^e$ kolomvector van $ {\bf B}$.


Voorbeeld: Als en \begin{displaymath}{\bf B} = \left(
\begin{array}{rr}
3 & -4 \\
1 & 5 \\
-2 & 2 \\
\end{array}
\right) \end{displaymath}, dan

$\displaystyle {\bf A}{\bf B} = \left( 
 \begin{array}{rrr}
 1 & 2 & 1 \\ 
 4 & ...
...ht) = \left(
 \begin{array}{rr}
 3 & 8 \\ 
 8 & -12 \\ 
 \end{array}
 \right) .$ (453)


Opmerkingen

  1. De vermenigvuldiging van een matrix met een kolomvector is een bijzonder geval van deze matrixvermenigvuldiging: een kolomvector is immers een matrix van de orde $ m \times 1$.
  2. Het product $ {\bf AB}$ bestaat slechts dan als het aantal kolommen van $ {\bf A}$ gelijk is aan het aantal rijen van $ {\bf B}$.
Matrix vermenigvuldiging is in het algemeen niet commutatief, $ {\bf AB} \neq {\bf BA}$. Het verschil tussen deze twee volgordes noemen we de commutator,

$\displaystyle [ {\bf A}, {\bf B} ] \equiv {\bf AB} - {\bf BA} .$ (454)

Tenslotte merken we op dat matrixvermenigvuldiging wel associatief is ( $ ({\bf AB}){\bf C} = {\bf A}({\bf BC}) = {\bf ABC}$) en distributief ( $ ({\bf A} + {\bf B}){\bf C} = {\bf AC} + {\bf BC}$ en $ {\bf A}({\bf B} + {\bf C}) = {\bf AB} + {\bf AC}$).


next up previous contents
Next: Diagonale matrices Up: Matrixrekening Previous: Product van scalar met   Contents
Jo van den Brand 2009-01-31