Lineaire afhankelijkheid; ontbinden van vectoren, kentallen

De som $p{\bf A} + q{\bf B}$ heet een lineaire combinatie van ${\bf A}$ en ${\bf B}$, terwijl $p{\bf A} + q{\bf B} + r{\bf C}$ een lineaire combinatie heet van ${\bf A}$, ${\bf B}$ en ${\bf C}$.

Definitie: een stelsel vectoren heet lineair onafhankelijk als geen van die vectoren gelijk is aan een lineaire combinatie van andere vectoren uit dat stelsel.

Stelling: ${\bf A}$, ${\bf B}$ en ${\bf C}$ zijn lineair onafhankelijk dan en slechts dan als uit $p{\bf A} + q{\bf B} + r{\bf C} = {\bf0}$ volgt dat $p=q=r=0$.

Als ${\bf A} + {\bf B} = {\bf C}$, dan heten ${\bf A}$ en ${\bf B}$ de componenten van ${\bf C}$ in de richtingen van ${\bf A}$ en ${\bf B}$.

Als ${\bf i}$, ${\bf j}$ en ${\bf k}$ de eenheidsvectoren zijn in de richtingen van de positieve $x$-, $y$- en $z$-as van een cartesiaans coördinatenstelsel, dan is

$${\bf A} = A_1 {\bf i} + A_2 {\bf j} + A_3 {\bf k}.$$ (430)

Elke vector ${\bf A}$ is dus gelijk aan een lineaire combinatie van de onderling lineair onafhankelijke vectoren ${\bf i}$, ${\bf j}$ en ${\bf k}$. De getallen $A_1$, $A_2$ en $A_3$ noemen we de kentallen van ${\bf A}$ ten opzichte van de basis $\{ {\bf i}, {\bf j},{\bf k} \}$.

Figuur 66: De vector ${\bf A}$ kan ontbonden worden in een lineaire combinatie van de onderling lineair onafhankelijke vectoren ${\bf i}$, ${\bf j}$ en ${\bf k}$ die een basis vormen.

Blijkbaar geldt

1. ${\bf A} + {\bf B} = (A_1+B_1){\bf i} + (A_2 + B_2){\bf j} +(A_3 + B_3){\bf k}$,
2. $c{\bf A} = cA_1{\bf i} + cA_2{\bf j} + cA_3{\bf k}$,
3. $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + A_3^2}$.